Номер 88, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 4 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

88. Радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 4 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

Пусть дан правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$ с центром в точке $O$. Радиус вписанной в него окружности, который также является апофемой многоугольника, равен $r = 4$ см. Обозначим через $R$ радиус описанной окружности.

Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного восьмиугольника, составляет $\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle OA_1A_2$. Его высота $OM$ (где $M$ — середина $A_1A_2$) равна радиусу вписанной окружности $r$. Эта высота также является биссектрисой угла $\angle A_1OA_2$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OMA_1$ угол $\angle MOA_1 = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$. Гипотенуза $OA_1$ равна радиусу описанной окружности $R$. Связь между $r$ и $R$ выражается формулой: $r = R \cos(22.5^\circ)$.

Отсюда мы можем выразить $R$: $R = \frac{r}{\cos(22.5^\circ)} = \frac{4}{\cos(22.5^\circ)}$. Для дальнейших вычислений найдем значение $\cos(22.5^\circ)$ с помощью формулы половинного угла: $\cos^2(22.5^\circ) = \frac{1 + \cos(45^\circ)}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$. Так как угол $22.5^\circ$ находится в первой четверти, его косинус положителен: $\cos(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

Теперь найдем численное значение для $R$: $R = \frac{4}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$. Теперь, зная $R$, мы можем найти длины требуемых диагоналей.

Диагональ $A_1A_3$ соединяет вершины через одну. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_3$. Этот треугольник равнобедренный, так как $OA_1 = OA_3 = R$. Угол $\angle A_1OA_3$ стягивает две стороны восьмиугольника, поэтому он равен $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle A_1OA_3$ является прямоугольным равнобедренным треугольником. По теореме Пифагора: $A_1A_3^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$. Отсюда $A_1A_3 = R\sqrt{2}$.

Подставим найденное значение $R$: $A_1A_3 = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$. Упростим выражение: $A_1A_3 = 8\sqrt{\frac{2}{2+\sqrt{2}}} = 8\sqrt{\frac{2(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} = 8\sqrt{\frac{4-2\sqrt{2}}{4-2}} = 8\sqrt{\frac{4-2\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

Ответ: $A_1A_3 = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}$ см.

Диагональ $A_1A_4$ соединяет вершины через две. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle A_1OA_4$ со сторонами $OA_1 = OA_4 = R$. Угол $\angle A_1OA_4$ стягивает три стороны восьмиугольника, поэтому $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle A_1OA_4$: $A_1A_4^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(135^\circ) = 2R^2(1-\cos(135^\circ))$. Поскольку $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то: $A_1A_4^2 = 2R^2\left(1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 2R^2\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = R^2(2+\sqrt{2})$.

Подставим выражение $R^2 = \left(\frac{r}{\cos(22.5^\circ)}\right)^2 = \frac{r^2}{\cos^2(22.5^\circ)}$. $A_1A_4^2 = \frac{r^2}{\cos^2(22.5^\circ)} \cdot (2+\sqrt{2}) = \frac{r^2}{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} \cdot (2+\sqrt{2}) = \frac{4r^2}{2+\sqrt{2}} \cdot (2+\sqrt{2}) = 4r^2$. Следовательно, $A_1A_4 = \sqrt{4r^2} = 2r$. Так как по условию $r=4$ см, то $A_1A_4 = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: $A_1A_4 = 8$ см.

Диагональ $A_1A_5$ соединяет противоположные вершины восьмиугольника и проходит через его центр $O$. Таким образом, эта диагональ является диаметром описанной окружности. Ее длина равна $A_1A_5 = 2R$. Используя ранее найденное значение $R$: $A_1A_5 = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = \frac{16}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$.

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $A_1A_5 = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{4-2}} = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}} = 8\sqrt{4-2\sqrt{2}}$.

Ответ: $A_1A_5 = 8\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ см.