Номер 90, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Правильные многоугольники и их свойства. Вариант 3. Упражнения - номер 90, страница 77.

Условие 2017.

90. Сторона правильного шестиугольника равна 3 см. Его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения так, что образовался правильный треугольник. Найдите сторону этого треугольника.

Условие 2021.

90. Сторона правильного шестиугольника равна 3 см. Его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения так, что образовался правильный треугольник. Найдите сторону этого треугольника.

Решение.

Решение 2 (2021).

Пусть дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной $a = 3$ см.

Согласно условию, его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения. Это означает, что были продлены прямые, содержащие, например, стороны BC, DE и FA. Эти три прямые, попарно пересекаясь, образуют новый большой треугольник. Обозначим вершины этого треугольника P, Q и R.

Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n=6$.
Угол равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.
Таким образом, все внутренние углы шестиугольника равны $120^\circ$.

Рассмотрим один из трех маленьких треугольников, которые образуются в углах большого треугольника PQR, "пристроенных" к сторонам шестиугольника. Например, рассмотрим треугольник, образованный пересечением прямых, содержащих стороны FA и BC. Пусть эти прямые пересекаются в точке P. Этот маленький треугольник — $\triangle PAB$.

Найдем его углы. Угол $\angle PAB$ является смежным с внутренним углом шестиугольника $\angle FAB$. Следовательно, $\angle PAB = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Аналогично, угол $\angle PBA$ является смежным с внутренним углом $\angle ABC$. Следовательно, $\angle PBA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $\triangle PAB$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle APB$ равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle PAB$ — равносторонний.

Сторона AB этого треугольника является стороной исходного шестиугольника, поэтому ее длина равна 3 см. Следовательно, все стороны $\triangle PAB$ равны 3 см: $PA = PB = AB = 3$ см.

По аналогии, два других треугольника, образованных при пересечении других пар прямых, также являются равносторонними со стороной 3 см.

• При пересечении прямых, содержащих стороны BC и DE, образуется равносторонний треугольник $\triangle QCD$, где $QC = QD = CD = 3$ см.
• При пересечении прямых, содержащих стороны DE и FA, образуется равносторонний треугольник $\triangle REF$, где $RE = RF = EF = 3$ см.

Теперь найдем длину стороны образовавшегося большого треугольника PQR. Возьмем, к примеру, сторону PQ. Она лежит на прямой, содержащей сторону BC шестиугольника. Длина стороны PQ складывается из длин трех отрезков: PB, BC и CQ.

$PQ = PB + BC + CQ$
Из наших вычислений мы знаем, что:

• $PB = 3$ см (сторона равностороннего $\triangle PAB$)
• $BC = 3$ см (сторона исходного шестиугольника)
• $QC = 3$ см (сторона равностороннего $\triangle QCD$)

Таким образом, длина стороны PQ равна:
$PQ = 3 \text{ см} + 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9 \text{ см}.$

Поскольку большой треугольник PQR является правильным, все его стороны равны.

Ответ: 9 см.