Номер 87, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. В окружность радиуса $6\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен правильный шестиугольник, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

87. В окружность радиуса $6\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен правильный шестиугольник, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около правильного треугольника. По условию задачи, $R = 6\sqrt{3}$ см.

Сначала найдем сторону вписанного треугольника ($a_3$). Формула, связывающая сторону правильного треугольника с радиусом описанной окружности: $a_3 = R\sqrt{3}$. Подставим значение $R$: $a_3 = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Далее найдем высоту этого треугольника ($h_3$). Высота правильного треугольника вычисляется по формуле $h_3 = \frac{a_3\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение $a_3$: $h_3 = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.

Согласно условию, на высоте треугольника как на стороне построен правильный шестиугольник. Это означает, что сторона шестиугольника ($a_6$) равна найденной высоте треугольника: $a_6 = h_3 = 9\sqrt{3}$ см.

Наконец, найдем радиус окружности ($r_6$), вписанной в этот правильный шестиугольник. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности связан с его стороной формулой $r_6 = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение $a_6$: $r_6 = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13,5$ см.

Ответ: 13,5 см.