Номер 82, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна 10 см. Чему равен радиус:

1) описанной около него окружности;

2) вписанной в него окружности?

82. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна 10 см. Чему равен радиус:

1) описанной около него окружности;

2) вписанной в него окружности?

1) описанной около него окружности

Наибольшая диагональ правильного шестиугольника $D$ проходит через его центр и соединяет две противоположные вершины. Длина этой диагонали равна диаметру описанной окружности, то есть двум её радиусам $R$.

Таким образом, можно записать формулу: $D = 2R$.

По условию задачи, длина наибольшей диагонали $D = 10$ см. Подставим это значение в формулу:

$10 = 2R$

Отсюда находим радиус описанной окружности:

$R = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

2) вписанной в него окружности

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности $R$ равен его стороне $a$. Из первого пункта мы знаем, что $R = 5$ см, следовательно, сторона шестиугольника $a = 5$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ (также называемый апофемой) для правильного шестиугольника связан с его стороной $a$ следующей формулой:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Эту формулу можно вывести, рассмотрев один из шести равносторонних треугольников, на которые шестиугольник делится большими диагоналями. Радиус вписанной окружности является высотой такого треугольника.

Подставим известное значение стороны $a = 5$ см в формулу:

$r = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.