Номер 79, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Найдите отношение площадей правильных четырёхугольника и шестиугольника, стороны которых равны.

79. Найдите отношение площадей правильных четырёхугольника и шестиугольника, стороны которых равны.

Пусть $a$ — длина стороны правильного четырёхугольника и правильного шестиугольника, так как по условию их стороны равны.

Площадь правильного четырёхугольника
Правильный четырёхугольник является квадратом. Площадь квадрата ($S_4$) со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_4 = a^2$

Площадь правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равных равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна $a$. Площадь одного такого равностороннего треугольника ($S_{\triangle}$) вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
Следовательно, площадь всего шестиугольника ($S_6$) равна сумме площадей шести таких треугольников:
$S_6 = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Отношение площадей
Теперь найдём отношение площади правильного четырёхугольника к площади правильного шестиугольника, разделив $S_4$ на $S_6$:
$\frac{S_4}{S_6} = \frac{a^2}{\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}}$
Сократим $a^2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{S_4}{S_6} = \frac{1}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$\frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$