Номер 72, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $177^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $12^\circ$.

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $177^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $12^\circ$.

Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника. Величина внутреннего угла $\alpha$ и внешнего угла $\beta$ правильного многоугольника связаны соотношением $\alpha + \beta = 180^\circ$, так как они являются смежными.

По условию задачи, внутренний угол равен $\alpha = 177^\circ$. Найдем величину внешнего угла многоугольника:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 177^\circ = 3^\circ$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Поскольку в правильном многоугольнике все $n$ внешних углов равны, то количество сторон $n$ можно найти по формуле:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$.

Подставим в формулу найденное значение внешнего угла:
$n = \frac{360^\circ}{3^\circ} = 120$.

Ответ: 120.

Угол, смежный с углом многоугольника, — это его внешний угол. По условию, величина внешнего угла равна $\beta = 12^\circ$.

Для нахождения количества сторон $n$ правильного многоугольника воспользуемся формулой, связывающей число сторон с величиной внешнего угла:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$.

Подставим в формулу известное значение внешнего угла:
$n = \frac{360^\circ}{12^\circ} = 30$.

Ответ: 30.