Номер 68, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Сторона квадрата равна 2 см. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

68. Сторона квадрата равна 2 см. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a = 2$ см. На его сторонах во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники $ABE$, $BCF$, $CDG$ и $DAH$. Требуется найти площадь четырехугольника $EFGH$, вершинами которого являются вершины этих треугольников, не принадлежащие исходному квадрату.

Из симметрии построения следует, что полученный четырехугольник $EFGH$ является квадратом. Его центр совпадает с центром исходного квадрата $ABCD$. Для нахождения площади этого квадрата достаточно найти длину его диагонали, например, $EG$.

Найдем длину диагонали $EG$. Она равна удвоенной длине отрезка $OE$, где $O$ - центр квадрата $ABCD$. Рассмотрим треугольник $OAE$.

1. Сторона $AE$ равна стороне равностороннего треугольника $ABE$, которая, в свою очередь, равна стороне квадрата: $AE = AB = 2$ см.

2. Отрезок $OA$ - это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см. Следовательно, $OA = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$ см.

3. Угол $\angle OAE$ складывается из угла $\angle OAB$ и угла $\angle BAE$. Так как диагональ квадрата делит его угол пополам, $\angle OAB = 45^\circ$. Угол $\angle BAE$ является углом равностороннего треугольника, поэтому $\angle BAE = 60^\circ$. Таким образом, $\angle OAE = \angle OAB + \angle BAE = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $OAE$, чтобы найти длину стороны $OE$:$OE^2 = OA^2 + AE^2 - 2 \cdot OA \cdot AE \cdot \cos(\angle OAE)$$OE^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos(105^\circ)$$OE^2 = 2 + 4 - 4\sqrt{2} \cdot \cos(105^\circ)$

Значение $\cos(105^\circ)$ можно вычислить по формуле косинуса суммы:$\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos(60^\circ)\cos(45^\circ) - \sin(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Подставим это значение в формулу для $OE^2$:$OE^2 = 6 - 4\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\right) = 6 - \sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 6 - (2 - \sqrt{12}) = 6 - 2 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$.

Выражение $4 + 2\sqrt{3}$ можно представить в виде полного квадрата: $4 + 2\sqrt{3} = 1 + 3 + 2\sqrt{3} = (1+\sqrt{3})^2$.Следовательно, $OE = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} = 1+\sqrt{3}$ см.

Диагональ квадрата $EFGH$ равна $d = EG = 2 \cdot OE = 2(1+\sqrt{3})$ см.

Площадь квадрата $EFGH$ вычисляется по формуле $S = \frac{d^2}{2}$:$S = \frac{(2(1+\sqrt{3}))^2}{2} = \frac{4(1+\sqrt{3})^2}{2} = 2(1^2 + 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = 2(1 + 2\sqrt{3} + 3) = 2(4 + 2\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3}$ см².

Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$ см².