Номер 70, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 7 см, 24 см, 20 см и 15 см. Найдите площадь четырёхугольника.

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 7 см, 24 см, 20 см и 15 см.

Найдите площадь четырёхугольника.

Для нахождения площади четырехугольника, вписанного в окружность, стороны которого известны, применяется формула Брахмагупты. Пусть стороны четырехугольника последовательно равны $a=7$ см, $b=24$ см, $c=20$ см и $d=15$ см.

Формула Брахмагупты для площади $S$ вписанного четырехугольника выглядит следующим образом:

$S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$

Здесь $p$ — это полупериметр четырехугольника, который вычисляется как сумма длин всех сторон, деленная на два: $p = \frac{a+b+c+d}{2}$.

1. Первым шагом вычислим полупериметр $p$ для нашего четырехугольника:

$p = \frac{7 + 24 + 20 + 15}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

2. Далее найдем значения выражений, стоящих под корнем в формуле:

$p - a = 33 - 7 = 26$

$p - b = 33 - 24 = 9$

$p - c = 33 - 20 = 13$

$p - d = 33 - 15 = 18$

3. Теперь подставим эти значения в формулу Брахмагупты, чтобы найти площадь $S$:

$S = \sqrt{26 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 18}$

Для удобства вычисления разложим множители под корнем:

$S = \sqrt{(2 \cdot 13) \cdot (3^2) \cdot 13 \cdot (2 \cdot 3^2)}$

Сгруппируем одинаковые множители, чтобы упростить извлечение корня:

$S = \sqrt{2^2 \cdot 13^2 \cdot (3^2)^2} = \sqrt{(2 \cdot 13 \cdot 3^2)^2}$

4. Извлекая квадратный корень, получаем окончательное значение площади:

$S = 2 \cdot 13 \cdot 3^2 = 26 \cdot 9 = 234$ см².

Ответ: 234 см².