Номер 73, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. На рисунке 58 изображён правильный пятиугольник $ABCDE$, $M$ — точка пересечения прямых $AE$ и $CD$. Найдите угол $\angle AMC$.

Рис. 58

73. На рисунке 58 изображён правильный пятиугольник $ABCDE$, $M$ — точка пересечения прямых $AE$ и $CD$. Найдите угол $\angle AMC$.

Рис. 58

Поскольку ABCDE — правильный пятиугольник, все его внутренние углы равны. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^{\circ}$.

Для правильного пятиугольника (где $n=5$) сумма внутренних углов составляет:

$S_5 = (5-2) \cdot 180^{\circ} = 3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}$.

Так как все углы равны, величина каждого внутреннего угла равна:

$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \angle E = \frac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$.

Точка M — это точка пересечения прямых AE и CD. Рассмотрим треугольник $\triangle EDM$.

Угол $\angle DEM$ и внутренний угол пятиугольника $\angle AED$ являются смежными, так как точки A, E, M лежат на одной прямой. Их сумма равна $180^{\circ}$.

$\angle DEM = 180^{\circ} - \angle AED = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$.

Аналогично, угол $\angle EDM$ и внутренний угол пятиугольника $\angle CDE$ являются смежными, так как точки C, D, M лежат на одной прямой. Их сумма также равна $180^{\circ}$.

$\angle EDM = 180^{\circ} - \angle CDE = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$.

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $\triangle EDM$. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Найдем третий угол, $\angle DME$, который является искомым углом $\angle AMC$.

$\angle AMC = \angle DME = 180^{\circ} - (\angle DEM + \angle EDM) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ}$.

Ответ: $36^{\circ}$.