Номер 69, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Площади треугольников $AKB$, $AKD$ и $CKD$ соответственно равны $4 \text{ см}^2$, $12 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Площади треугольников $AKB$, $AKD$ и $CKD$ соответственно равны $4 \text{ см}^2$, $12 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$ и делят его на четыре треугольника: $\triangle AKB$, $\triangle BKC$, $\triangle CKD$ и $\triangle AKD$. Обозначим их площади как $S_{\triangle AKB}$, $S_{\triangle BKC}$, $S_{\triangle CKD}$ и $S_{\triangle AKD}$ соответственно. По условию, нам известны площади трех из них: $S_{\triangle AKB} = 4 \text{ см}^2$, $S_{\triangle AKD} = 12 \text{ см}^2$ и $S_{\triangle CKD} = 9 \text{ см}^2$.

Площадь всего четырехугольника $ABCD$ является суммой площадей этих четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AKB} + S_{\triangle BKC} + S_{\triangle CKD} + S_{\triangle AKD}$. Для ее нахождения нам нужно определить площадь треугольника $\triangle BKC$.

Воспользуемся свойством, что отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению длин их оснований, к которым эта высота проведена. Рассмотрим треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle CKD$. Они имеют общую высоту, опущенную из вершины $D$ на диагональ $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований $AK$ и $KC$:

$\frac{S_{\triangle AKD}}{S_{\triangle CKD}} = \frac{AK}{KC}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{12}{9} = \frac{AK}{KC} \implies \frac{AK}{KC} = \frac{4}{3}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AKB$ и $\triangle BKC$. Они также имеют общую высоту, опущенную из вершины $B$ на диагональ $AC$. Поэтому для них справедливо аналогичное соотношение:

$\frac{S_{\triangle AKB}}{S_{\triangle BKC}} = \frac{AK}{KC}$

Так как оба отношения площадей равны одному и тому же отношению отрезков $\frac{AK}{KC}$, мы можем их приравнять:

$\frac{S_{\triangle AKB}}{S_{\triangle BKC}} = \frac{S_{\triangle AKD}}{S_{\triangle CKD}}$

Это известное свойство площадей треугольников, на которые выпуклый четырехугольник делится диагоналями: произведение площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам, равны ($S_{\triangle AKB} \cdot S_{\triangle CKD} = S_{\triangle AKD} \cdot S_{\triangle BKC}$). Подставим известные значения и найдем $S_{\triangle BKC}$:

$\frac{4}{S_{\triangle BKC}} = \frac{12}{9}$

$S_{\triangle BKC} = \frac{4 \cdot 9}{12} = \frac{36}{12} = 3 \text{ см}^2$.

Теперь мы можем найти площадь всего четырехугольника $ABCD$, сложив площади всех четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AKB} + S_{\triangle BKC} + S_{\triangle CKD} + S_{\triangle AKD} = 4 + 3 + 9 + 12 = 28 \text{ см}^2$.

Ответ: $28 \text{ см}^2$.