Номер 74, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, в 2 раза меньше угла многоугольника.

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, в 2 раза меньше угла многоугольника.

Обозначим величину внутреннего угла правильного многоугольника как $\alpha$, а величину смежного с ним внешнего угла — как $\beta$.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, справедливо соотношение:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, угол, смежный с углом многоугольника (внешний угол), в 2 раза меньше угла многоугольника (внутреннего угла). Это можно записать в виде уравнения:
$\beta = \frac{\alpha}{2}$ или $\alpha = 2\beta$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение $\alpha = 2\beta$ в первое уравнение:
$2\beta + \beta = 180^\circ$
$3\beta = 180^\circ$
$\beta = \frac{180^\circ}{3}$
$\beta = 60^\circ$

Мы нашли, что внешний угол правильного многоугольника равен $60^\circ$.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. Поскольку в правильном многоугольнике все внешние углы равны, количество сторон $n$ можно найти по формуле:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$
Подставим найденное значение $\beta$:
$n = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$

Таким образом, искомый правильный многоугольник имеет 6 сторон (это правильный шестиугольник).

Ответ: 6