Номер 67, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Диагонали четырёхугольника равны 8 см и 9 см, а его площадь – $18 \text{ см}^2$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

67. Диагонали четырёхугольника равны 8 см и 9 см, а его площадь — 18 $ \text{см}^2 $. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле, используя длины его диагоналей и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $S$ — это площадь четырехугольника, $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — это угол между диагоналями.

Из условия задачи нам известно:

• Длина первой диагонали $d_1 = 8$ см.
• Длина второй диагонали $d_2 = 9$ см.
• Площадь четырехугольника $S = 18$ см².

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти синус угла $\alpha$:

$18 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin(\alpha)$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$18 = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \sin(\alpha)$

$18 = 36 \cdot \sin(\alpha)$

Теперь найдем значение $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{18}{36}$

$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Существует два угла в диапазоне от 0° до 180°, синус которых равен $\frac{1}{2}$.

Первый угол — это острый угол:

$\alpha_1 = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$

Второй угол — это тупой угол, смежный с первым, так как при пересечении диагоналей образуются две пары углов, и синусы смежных углов равны ($\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$):

$\alpha_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Оба значения являются корректными углами между диагоналями.

Ответ: 30° или 150°.