Номер 60, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Три окружности, радиусы которых равны 6 см, 2 см и 1 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

60. Три окружности, радиусы которых равны 6 см, 2 см и 1 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

Пусть центры трех окружностей являются вершинами треугольника. Обозначим радиусы окружностей как $r_1 = 6$ см, $r_2 = 2$ см и $r_3 = 1$ см.

Поскольку окружности попарно касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов. Таким образом, стороны треугольника, образованного центрами этих окружностей, будут равны:

• Сторона $a$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$:
  $a = r_1 + r_2 = 6 + 2 = 8$ см.
• Сторона $b$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_3$:
  $b = r_1 + r_3 = 6 + 1 = 7$ см.
• Сторона $c$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_2$ и $r_3$:
  $c = r_2 + r_3 = 2 + 1 = 3$ см.

Теперь мы имеем треугольник со сторонами 8 см, 7 см и 3 см. Для нахождения площади этого треугольника воспользуемся формулой Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+7+3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь подставим все значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{9(9-8)(9-7)(9-3)}$
$S = \sqrt{9 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6}$
$S = \sqrt{108}$

Упростим полученное значение:
$S = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см$^2$.