Номер 57, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Отрезки AB и CD пересекаются в точке K (рис. 56),

$AK = \frac{1}{2}KB$, $CK = 3KD$. Найдите отношение площадей треугольников AKC и BKD.

Рис. 56

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$ (рис. 56),

$AK = \frac{1}{2}KB, CK = 3KD.$

Найдите отношение площадей треугольников $AKC$ и $BKD$.

Рис. 56

Для нахождения отношения площадей треугольников AKC и BKD воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Площадь треугольника AKC можно выразить как:

$S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot CK \cdot \sin(\angle AKC)$

Площадь треугольника BKD можно выразить как:

$S_{BKD} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot DK \cdot \sin(\angle BKD)$

Углы $\angle AKC$ и $\angle BKD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков AB и CD. Следовательно, эти углы равны: $\angle AKC = \angle BKD$. Это означает, что и синусы этих углов также равны: $\sin(\angle AKC) = \sin(\angle BKD)$.

Теперь найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{AKC}}{S_{BKD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot CK \cdot \sin(\angle AKC)}{\frac{1}{2} \cdot BK \cdot DK \cdot \sin(\angle BKD)}$

Так как $\frac{1}{2}$ и синусы углов в числителе и знаменателе равны, мы можем их сократить:

$\frac{S_{AKC}}{S_{BKD}} = \frac{AK \cdot CK}{BK \cdot DK}$

Из условия задачи нам известны соотношения сторон: $AK = \frac{1}{2}KB$ и $CK = 3KD$. Подставим эти значения в нашу формулу:

$\frac{S_{AKC}}{S_{BKD}} = \frac{(\frac{1}{2}KB) \cdot (3KD)}{BK \cdot KD}$

Упростим выражение, сократив KB и KD:

$\frac{S_{AKC}}{S_{BKD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot KB \cdot KD}{BK \cdot KD} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.