Номер 59, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Найдите площадь треугольника со сторонами 7 см, 15 см и 20 см.

59. Найдите площадь треугольника со сторонами 7 см, 15 см и 20 см.

Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам используется формула Герона. Пусть стороны треугольника равны $a = 7$ см, $b = 15$ см и $c = 20$ см.

Прежде всего, необходимо убедиться, что треугольник с такими сторонами существует. Для этого применим неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны:

$a + b > c \implies 7 + 15 > 20 \implies 22 > 20$ (верно)

$a + c > b \implies 7 + 20 > 15 \implies 27 > 15$ (верно)

$b + c > a \implies 15 + 20 > 7 \implies 35 > 7$ (верно)

Все условия выполняются, следовательно, такой треугольник существует и его площадь можно вычислить.

Формула Герона для вычисления площади $S$ треугольника:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Здесь $p$ — это полупериметр треугольника.

1. Найдем периметр $P$ и полупериметр $p$ треугольника:

Периметр $P = a + b + c = 7 + 15 + 20 = 42$ см.

Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{21 \cdot (21-7) \cdot (21-15) \cdot (21-20)}$

$S = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}$

3. Вычислим значение площади. Для удобства разложим числа под корнем на простые множители:

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)}$

Сгруппируем одинаковые множители:

$S = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7)^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$S = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$

Таким образом, площадь треугольника составляет 42 квадратных сантиметра.

Ответ: 42 $\text{см}^2$.