Номер 55, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Две стороны треугольника равны 5 см и 12 см. Может ли его площадь быть равной: 1) $24\text{ см}^2$; 2) $42\text{ см}^2$?

55. Две стороны треугольника равны 5 см и 12 см. Может ли его площадь быть равной:

1) $24 \text{ см}^2;$

2) $42 \text{ см}^2?$

Площадь треугольника ($S$) через две стороны ($a$ и $b$) и угол ($\alpha$) между ними вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$

В нашем случае даны стороны $a = 5$ см и $b = 12$ см. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 \cdot \sin(\alpha) = 30 \sin(\alpha)$

Угол в треугольнике $\alpha$ может изменяться в пределах от 0° до 180° (не включая эти значения, иначе треугольник "схлопнется" в отрезок). Значение синуса для таких углов находится в интервале $(0, 1]$.

Максимальное значение площади треугольника достигается при максимальном значении $\sin(\alpha)$, то есть когда $\sin(\alpha) = 1$. Это соответствует углу $\alpha = 90^\circ$.

Найдем максимальную возможную площадь $S_{max}$:

$S_{max} = 30 \cdot 1 = 30$ см²

Это означает, что площадь любого треугольника со сторонами 5 см и 12 см не может превышать 30 см². Теперь рассмотрим предложенные варианты.

1) 24 см²

Сравним это значение с максимальной возможной площадью:

$24 \text{ см}^2 \le 30 \text{ см}^2$

Так как 24 см² меньше максимально возможной площади, то такая площадь достижима. Это произойдет при угле $\alpha$, для которого:

$30 \sin(\alpha) = 24$

$\sin(\alpha) = \frac{24}{30} = 0.8$

Поскольку значение $0.8$ находится в диапазоне $(0, 1]$, такой угол $\alpha$ существует.

Ответ: да, может.

2) 42 см²

Сравним это значение с максимальной возможной площадью:

$42 \text{ см}^2 > 30 \text{ см}^2$

Значение 42 см² превышает максимальную возможную площадь для треугольника с заданными сторонами. Следовательно, площадь треугольника не может быть равной 42 см².

Ответ: нет, не может.