Номер 48, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Диагональ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 6 см, $\angle CAD = 42^\circ$, $\angle BAD = 74^\circ$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

48. Диагональ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 6 см, $\angle CAD = 42^\circ$, $\angle BAD = 74^\circ$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Дано: $ABCD$ — равнобокая трапеция, $BC \parallel AD$, $AC = 6$ см, $\angle CAD = 42^\circ$, $\angle BAD = 74^\circ$.

1) стороны трапеции

Сначала найдем углы, необходимые для решения задачи.

1. Угол $\angle BAC$ является частью угла $\angle BAD$.
$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 74^\circ - 42^\circ = 32^\circ$.

2. Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, углы при основаниях равны.
$\angle CDA = \angle BAD = 74^\circ$.

3. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.
$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$.

4. Так как основания $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны.
$\angle BCA = \angle CAD = 42^\circ$.

Теперь, зная углы, мы можем найти стороны трапеции, используя теорему синусов.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем сторону $AC = 6$ см и все углы: $\angle BAC = 32^\circ$, $\angle BCA = 42^\circ$, $\angle ABC = 106^\circ$.
По теореме синусов:
$\frac{AB}{\sin\angle BCA} = \frac{BC}{\sin\angle BAC} = \frac{AC}{\sin\angle ABC}$
$\frac{AB}{\sin 42^\circ} = \frac{BC}{\sin 32^\circ} = \frac{6}{\sin 106^\circ}$

Используя тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем $\sin 106^\circ = \sin(180^\circ - 74^\circ) = \sin 74^\circ$.

Находим боковую сторону $AB$:
$AB = \frac{6 \cdot \sin 42^\circ}{\sin 106^\circ} = \frac{6 \sin 42^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

Так как трапеция равнобокая, $CD = AB = \frac{6 \sin 42^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

Находим меньшее основание $BC$:
$BC = \frac{6 \cdot \sin 32^\circ}{\sin 106^\circ} = \frac{6 \sin 32^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

Для нахождения большего основания $AD$ рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем сторону $AC=6$ см, $\angle CAD = 42^\circ$ и $\angle CDA = 74^\circ$. Найдем третий угол:
$\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle CDA) = 180^\circ - (42^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

По теореме синусов для треугольника $ACD$:
$\frac{AD}{\sin\angle ACD} = \frac{AC}{\sin\angle CDA}$
$\frac{AD}{\sin 64^\circ} = \frac{6}{\sin 74^\circ}$

Находим большее основание $AD$:
$AD = \frac{6 \sin 64^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

Ответ: $AB = CD = \frac{6 \sin 42^\circ}{\sin 74^\circ}$ см, $BC = \frac{6 \sin 32^\circ}{\sin 74^\circ}$ см, $AD = \frac{6 \sin 64^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

2) радиус окружности, описанной около треугольника ABC

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Согласно следствию из теоремы синусов, радиус описанной окружности можно найти по формуле $2R = \frac{a}{\sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Для треугольника $ABC$ используем известную сторону $AC = 6$ см и противолежащий ей угол $\angle ABC = 106^\circ$.
$2R = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$
$2R = \frac{6}{\sin 106^\circ}$
$R = \frac{6}{2 \sin 106^\circ} = \frac{3}{\sin 106^\circ}$

Так как $\sin 106^\circ = \sin 74^\circ$, то:
$R = \frac{3}{\sin 74^\circ}$ см.

Ответ: $R = \frac{3}{\sin 74^\circ}$ см.