Номер 43, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна $7\sqrt{2}$ см.

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна $7\sqrt{2}$ см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию задачи, диагонали трапеции перпендикулярны, а её боковая сторона равна $7\sqrt{2}$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Рассмотрим треугольник $ABD$.

Радиус $R$ описанной окружности около треугольника $ABD$ можно найти по теореме синусов:

$R = \frac{AB}{2 \sin(\angle ADB)}$

Для нахождения радиуса нам необходимо найти величину угла $ADB$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Так как трапеция равнобокая, её диагонали равны ($AC = BD$), а треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по трем сторонам ($AB=DC$ по условию, $AD$ — общая сторона, $AC=BD$).

Из равенства треугольников $\triangle ABD = \triangle DCA$ следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle ADB = \angle DAC$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. По условию диагонали перпендикулярны, значит, $\triangle AOD$ — прямоугольный, где $\angle AOD = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$:

$\angle OAD + \angle ODA = 90^\circ$

Поскольку $\angle OAD$ это тот же угол, что и $\angle DAC$, а $\angle ODA$ — тот же, что и $\angle ADB$, мы можем переписать это равенство как:

$\angle DAC + \angle ADB = 90^\circ$

Используя ранее установленное равенство $\angle ADB = \angle DAC$, получаем:

$\angle ADB + \angle ADB = 90^\circ$

$2 \cdot \angle ADB = 90^\circ$

$\angle ADB = 45^\circ$

Теперь мы можем вычислить радиус описанной окружности, подставив известные значения в формулу теоремы синусов. Боковая сторона $AB = 7\sqrt{2}$ см, а $\angle ADB = 45^\circ$.

$R = \frac{7\sqrt{2}}{2 \sin(45^\circ)}$

Зная, что значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$R = \frac{7\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 7$ см.

Ответ: 7 см.