Номер 39, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $AF$. Найдите стороны треугольника $ABC$, если $AF = m, \angle A = \alpha, \angle B = \beta$.

39. В треугольнике ABC провели биссектрису AF. Найдите стороны треугольника ABC, если $AF = m$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

Для нахождения сторон треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Сначала определим все необходимые углы.

Дано: $AF = m$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

Поскольку $AF$ — биссектриса угла $A$, то $\angle BAF = \angle CAF = \frac{\alpha}{2}$.

Из суммы углов треугольника $ABC$ находим угол $C$: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABF$. Найдем в нем угол, противолежащий стороне $AB$: $\angle AFB = 180^\circ - \angle B - \angle BAF = 180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2} = 180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2})$.

По теореме синусов для треугольника $ABF$ имеем:

$\frac{AB}{\sin(\angle AFB)} = \frac{AF}{\sin(\angle B)}$

$\frac{AB}{\sin(180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2}))} = \frac{m}{\sin(\beta)}$

Используя свойство синуса $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$AB = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)}$

Далее рассмотрим треугольник $ACF$. Найдем в нем угол, противолежащий стороне $AC$: $\angle AFC = 180^\circ - \angle C - \angle CAF = 180^\circ - (180^\circ - (\alpha + \beta)) - \frac{\alpha}{2} = \beta + \frac{\alpha}{2}$.

По теореме синусов для треугольника $ACF$ имеем:

$\frac{AC}{\sin(\angle AFC)} = \frac{AF}{\sin(\angle C)}$

$\frac{AC}{\sin(\beta + \frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя свойство синуса $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$AC = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha + \beta)}$

Наконец, найдем сторону $BC$, применив теорему синусов к исходному треугольнику $ABC$. Мы уже знаем стороны $AB$, $AC$ и все углы.

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

$BC = AC \cdot \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle B)} = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

$BC = \frac{m \sin(\alpha) \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $AB = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)}$, $AC = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha + \beta)}$, $BC = \frac{m \sin(\alpha) \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)\sin(\alpha + \beta)}$.