Номер 35, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 48^\circ$, $\angle C = 87^\circ$, отрезок $CE$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $AEC$, равен $2\sqrt{2}$ см.

35. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 48^\circ$, $\angle C = 87^\circ$, отрезок $CE$ —

высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус

окружности, описанной около треугольника $AEC$, равен $2\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим треугольник $AEC$. Так как $CE$ — высота, проведенная к стороне $AB$, то $\angle AEC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AEC$ является прямоугольным.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. В треугольнике $AEC$ гипотенузой является сторона $AC$. Пусть $R_{AEC}$ — радиус окружности, описанной около $\triangle AEC$. Тогда:
$R_{AEC} = \frac{AC}{2}$

По условию $R_{AEC} = 2\sqrt{2}$ см. Найдем длину стороны $AC$:
$AC = 2 \cdot R_{AEC} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Найдем угол $\angle B$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 48^\circ - 87^\circ = 45^\circ$.

Для нахождения радиуса $R_{ABC}$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, воспользуемся теоремой синусов:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R_{ABC}$

Выразим $R_{ABC}$ и подставим известные значения:
$R_{ABC} = \frac{AC}{2\sin(\angle B)} = \frac{4\sqrt{2}}{2\sin(45^\circ)}$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$R_{ABC} = \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$ см.

Ответ: 4 см.