Номер 34, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Две стороны треугольника равны 5 см и 6 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{3} : 1$.

34. Две стороны треугольника равны 5 см и 6 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{3} : 1$.

Пусть стороны треугольника равны $a = 5$ см, $b = 6$ см, а третья сторона равна $c$. $R$ — радиус описанной окружности.

По условию задачи, третья сторона относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{3}:1$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{c}{R} = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Отсюда выразим сторону $c$:

$c = R\sqrt{3}$

Воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

Подставим в эту формулу выражение для $c$, полученное ранее:

$\frac{R\sqrt{3}}{\sin C} = 2R$

Так как радиус описанной окружности $R$ не может быть равен нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $R$:

$\frac{\sqrt{3}}{\sin C} = 2$

Отсюда находим синус угла $C$, противолежащего стороне $c$:

$\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол треугольника может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне есть два угла, синус которых равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

1. $C_1 = 60^\circ$

2. $C_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Рассмотрим оба случая, используя теорему косинусов для нахождения стороны $c$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Случай 1: Угол $C = 60^\circ$.

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$

$c^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 61 - 30 = 31$

$c = \sqrt{31}$ см.

Случай 2: Угол $C = 120^\circ$.

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$

$c^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$c^2 = 61 + 30 = 91$

$c = \sqrt{91}$ см.

Оба значения удовлетворяют неравенству треугольника, следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $\sqrt{31}$ см или $\sqrt{91}$ см.