Номер 33, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Сторона треугольника равна 10 см, а радиус описанной около него окружности — также 10 см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

33. Сторона треугольника равна 10 см, а радиус описанной около него окружности — также 10 см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

Для нахождения угла треугольника, противолежащего данной стороне, используется обобщенная теорема синусов. Она связывает сторону треугольника, синус противолежащего ей угла и радиус описанной около треугольника окружности.

Формула выглядит следующим образом:

$$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $$

где $a$ — это длина стороны треугольника, $\alpha$ — величина угла, противолежащего этой стороне, а $R$ — радиус описанной окружности.

Из условия задачи нам известно:

• Длина стороны $a = 10$ см.
• Радиус описанной окружности $R = 10$ см.

Подставим эти данные в формулу:

$$ \frac{10}{\sin \alpha} = 2 \cdot 10 $$

Упростим полученное выражение:

$$ \frac{10}{\sin \alpha} = 20 $$

Теперь выразим $\sin \alpha$:

$$ \sin \alpha = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $$

Угол в треугольнике может принимать значения в диапазоне от 0° до 180°. В этом диапазоне уравнение $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ имеет два возможных решения:

1. $\alpha_1 = 30°$

2. $\alpha_2 = 180° - 30° = 150°$

Оба значения являются правильными, так как можно построить два разных треугольника, удовлетворяющих заданным условиям: один с острым углом 30°, а другой — с тупым углом 150° напротив данной стороны. Поскольку в задаче не указан тип треугольника, необходимо учесть оба варианта.

Геометрически это объясняется тем, что сторона треугольника является хордой в описанной окружности. Так как длина хорды (10 см) равна радиусу (10 см), центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен 60° (так как образуется равносторонний треугольник с центром окружности). Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла, то есть $60° / 2 = 30°$. Третья вершина треугольника также может лежать на большей дуге, и тогда вписанный угол будет равен $(360° - 60°) / 2 = 150°$.

Ответ: 30° или 150°.