Номер 26, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. В треугольнике $ABC$ $AB = 14$ см, $AC = 22$ см. Найдите сторону $BC$ и медиану $AM$, если $AM : BC = 3 : 7$.

26. В треугольнике $ABC$ $AB = 14$ см, $AC = 22$ см. Найдите сторону $BC$ и медиану $AM$, если $AM : BC = 3 : 7$.

Для решения задачи воспользуемся формулой длины медианы треугольника. Медиана $m_a$, проведенная к стороне $a$ (в нашем случае медиана $AM$ к стороне $BC$), связана со сторонами треугольника $a, b, c$ следующим соотношением:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

По условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB = c = 14$ см, $AC = b = 22$ см. Также дано отношение $AM : BC = 3 : 7$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можем выразить длины медианы $AM$ и стороны $BC$ через $x$:

$AM = m_a = 3x$

$BC = a = 7x$

Подставим все известные значения в формулу длины медианы:

$(3x)^2 = \frac{2 \cdot (22)^2 + 2 \cdot (14)^2 - (7x)^2}{4}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$9x^2 = \frac{2 \cdot 484 + 2 \cdot 196 - 49x^2}{4}$

$9x^2 = \frac{968 + 392 - 49x^2}{4}$

$9x^2 = \frac{1360 - 49x^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$36x^2 = 1360 - 49x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в левую часть уравнения:

$36x^2 + 49x^2 = 1360$

$85x^2 = 1360$

$x^2 = \frac{1360}{85} = 16$

Поскольку длина не может быть отрицательной, находим положительное значение $x$:

$x = \sqrt{16} = 4$

Зная значение коэффициента $x$, мы можем найти искомые величины.

Сторона BC

Длина стороны $BC$ выражается как $7x$. Подставляем найденное значение $x=4$:

$BC = 7 \cdot 4 = 28$ см.

Ответ: $BC = 28$ см.

Медиана AM

Длина медианы $AM$ выражается как $3x$. Подставляем найденное значение $x=4$:

$AM = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: $AM = 12$ см.