Номер 19, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Одна из сторон параллелограмма на 4 см меньше другой, а его диагонали равны 14 см и 12 см. Найдите стороны параллелограмма.

19. Одна из сторон параллелограмма на 4 см меньше другой, а его диагонали равны 14 см и 12 см. Найдите стороны параллелограмма.

Решение

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Если обозначить стороны параллелограмма как $a$ и $b$, а диагонали как $d_1$ и $d_2$, то формула будет выглядеть следующим образом:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи нам даны длины диагоналей: $d_1 = 14$ см и $d_2 = 12$ см.

Также известно, что одна из сторон на 4 см меньше другой. Обозначим длину одной стороны как $x$ см. Тогда длина другой стороны будет $(x + 4)$ см.

Теперь подставим все известные значения в формулу:

$14^2 + 12^2 = 2(x^2 + (x + 4)^2)$

Выполним вычисления в левой части уравнения:

$196 + 144 = 340$

Уравнение принимает вид:

$340 = 2(x^2 + (x + 4)^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$170 = x^2 + (x + 4)^2$

Раскроем квадрат суммы в правой части: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$.

$170 = x^2 + x^2 + 8x + 16$

Приведем подобные слагаемые:

$170 = 2x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 8x + 16 - 170 = 0$

$2x^2 + 8x - 154 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$x^2 + 4x - 77 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-4 + 18}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-4 - 18}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Поскольку длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, корень $x_2 = -11$ не является решением задачи.

Таким образом, длина одной стороны равна $x = 7$ см.

Длина второй стороны равна $x + 4 = 7 + 4 = 11$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см.