Номер 17, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Для сторон $a, b$ и $c$ треугольника выполняется равенство $b^2 = a^2 + c^2 + ac\sqrt{2}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне $b$, равен 135°.

17. Для сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника выполняется равенство $b^2 = a^2 + c^2 + ac\sqrt{2}$. Докажите, что угол, противолежащий стороне $b$, равен $135^{\circ}$.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим угол, противолежащий стороне $b$, как $\beta$.

Теорема косинусов для стороны $b$ треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\beta$ между сторонами $a$ и $c$ гласит:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$

В условии задачи дано следующее равенство:

$b^2 = a^2 + c^2 + ac\sqrt{2}$

Поскольку левые части обоих равенств одинаковы (равны $b^2$), мы можем приравнять их правые части:

$a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta) = a^2 + c^2 + ac\sqrt{2}$

Теперь упростим полученное уравнение. Вычтем из обеих частей $a^2 + c^2$:

$-2ac \cdot \cos(\beta) = ac\sqrt{2}$

Поскольку $a$ и $c$ — это длины сторон треугольника, они являются положительными числами ($a>0$, $c>0$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $-2ac$:

$\cos(\beta) = \frac{ac\sqrt{2}}{-2ac} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Нам нужно найти угол $\beta$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол треугольника должен находиться в интервале $(0°, 180°)$. Единственный угол в этом диапазоне, удовлетворяющий данному условию, это:

$\beta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135°$

Таким образом, мы доказали, что угол, противолежащий стороне $b$, равен $135°$, что и требовалось доказать.

Ответ: Угол, противолежащий стороне b, равен $135°$.