Номер 20, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = CD = 13$ см, $BC = 11$ см, $AD = 21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = CD = 13$ см, $BC = 11$ см, $AD = 21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Поскольку около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Одно из свойств вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Из этого следует, что $\cos C = \cos(180^\circ - A) = -\cos A$.

Мы можем выразить диагональ $BD$ через стороны и углы в двух треугольниках: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$, используя теорему косинусов.

1. В треугольнике $ABD$ по теореме косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

Подставим известные значения сторон ($AB = 13$ см, $AD = 21$ см):

$BD^2 = 13^2 + 21^2 - 2 \cdot 13 \cdot 21 \cdot \cos A$

$BD^2 = 169 + 441 - 546 \cos A$

$BD^2 = 610 - 546 \cos A$ (1)

2. В треугольнике $BCD$ по теореме косинусов:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

Подставим известные значения сторон ($BC = 11$ см, $CD = 13$ см):

$BD^2 = 11^2 + 13^2 - 2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cos C$

$BD^2 = 121 + 169 - 286 \cos C$

$BD^2 = 290 - 286 \cos C$

Используя соотношение $\cos C = -\cos A$, получим:

$BD^2 = 290 - 286(-\cos A) = 290 + 286 \cos A$ (2)

Теперь у нас есть два выражения для $BD^2$. Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$610 - 546 \cos A = 290 + 286 \cos A$

Решим это уравнение относительно $\cos A$:

$610 - 290 = 546 \cos A + 286 \cos A$

$320 = 832 \cos A$

$\cos A = \frac{320}{832}$

Сократим дробь. Оба числа делятся на 64 ($320 = 5 \cdot 64$, $832 = 13 \cdot 64$):

$\cos A = \frac{5 \cdot 64}{13 \cdot 64} = \frac{5}{13}$

Теперь подставим найденное значение $\cos A$ в любое из уравнений для $BD^2$. Используем уравнение (2):

$BD^2 = 290 + 286 \cos A = 290 + 286 \cdot \frac{5}{13}$

$BD^2 = 290 + 22 \cdot 5$

$BD^2 = 290 + 110$

$BD^2 = 400$

Отсюда находим длину диагонали $BD$:

$BD = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: 20 см.