Номер 25, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Стороны треугольника равны $5\sqrt{2}$ см и 2 см, а угол между ними — $45^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

25. Стороны треугольника равны $5\sqrt{2}$ см и 2 см, а угол между ними — $45^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

Пусть в треугольнике известны две стороны $b = 5\sqrt{2}$ см и $c = 2$ см, и угол $\alpha = 45^\circ$ между ними. Требуется найти медиану $m_a$, проведенную к третьей стороне $a$. Решение можно разбить на два этапа.

1. Нахождение длины третьей стороны $a$.
Для нахождения длины третьей стороны воспользуемся теоремой косинусов, которая устанавливает соотношение между сторонами треугольника и косинусом одного из его углов:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
Подставим в формулу известные значения:
$a^2 = (5\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos 45^\circ$
Так как $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, уравнение примет вид:
$a^2 = (25 \cdot 2) + 4 - 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$a^2 = 50 + 4 - 20 \cdot \frac{2}{2}$
$a^2 = 54 - 20$
$a^2 = 34$

2. Нахождение длины медианы $m_a$.
Длину медианы, проведенной к стороне $a$, можно вычислить по формуле:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$
Подставим в эту формулу известные значения для $b$ и $c$, а также найденное значение для $a^2$:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot (5\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2^2 - 34}$
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 50 + 2 \cdot 4 - 34}$
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{100 + 8 - 34}$
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{74}$
$m_a = \frac{\sqrt{74}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{74}}{2}$ см.