Номер 30, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Найдите угол $B$ треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 2$ см, $BC = \sqrt{6}$ см, $\angle A = 60^{\circ}$;

2) $AC = 9$ см, $BC = 3\sqrt{3}$ см, $\angle A = 30^{\circ}$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

30. Найдите угол $B$ треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 2 \text{ см}$, $BC = \sqrt{6} \text{ см}$, $\angle A = 60^\circ$;

2) $AC = 9 \text{ см}$, $BC = 3\sqrt{3} \text{ см}$, $\angle A = 30^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

1)

В треугольнике ABC известны стороны $AC = 2$ см, $BC = \sqrt{6}$ см и угол $\angle A = 60^\circ$. Сторона AC (обозначим ее как $b$) лежит напротив угла B, а сторона BC (обозначим ее как $a$) - напротив угла A. Для нахождения угла B воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Подставим известные значения:

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin B}$

Выразим $\sin B$:

$\sin B = \frac{2 \cdot \sin 60^\circ}{\sqrt{6}}$

Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin B = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Уравнение $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет два возможных решения для угла в треугольнике: $\angle B_1 = 45^\circ$ или $\angle B_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Проверим, может ли существовать треугольник в каждом из этих случаев. Сумма двух углов в треугольнике должна быть меньше $180^\circ$.

Случай 1: $\angle B = 45^\circ$.
Сумма углов A и B: $\angle A + \angle B = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ$. Поскольку $105^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует.

Случай 2: $\angle B = 135^\circ$.
Сумма углов A и B: $\angle A + \angle B = 60^\circ + 135^\circ = 195^\circ$. Поскольку $195^\circ > 180^\circ$, такой треугольник существовать не может.

Следовательно, задача имеет только одно решение.

Ответ: $\angle B = 45^\circ$. Задача имеет одно решение.

2)

В треугольнике ABC известны стороны $AC = 9$ см, $BC = 3\sqrt{3}$ см и угол $\angle A = 30^\circ$. Применим теорему синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

Подставим известные значения:

$\frac{3\sqrt{3}}{\sin 30^\circ} = \frac{9}{\sin B}$

Выразим $\sin B$:

$\sin B = \frac{9 \cdot \sin 30^\circ}{3\sqrt{3}}$

Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin B = \frac{9 \cdot \frac{1}{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{\frac{9}{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{2 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два возможных решения для угла в треугольнике: $\angle B_1 = 60^\circ$ или $\angle B_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Проверим оба случая, убедившись, что сумма углов A и B меньше $180^\circ$.

Случай 1: $\angle B = 60^\circ$.
Сумма углов A и B: $\angle A + \angle B = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$. Поскольку $90^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует.

Случай 2: $\angle B = 120^\circ$.
Сумма углов A и B: $\angle A + \angle B = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ$. Поскольку $150^\circ < 180^\circ$, такой треугольник тоже существует.

Следовательно, в этом случае задача имеет два решения.

Ответ: $\angle B = 60^\circ$ или $\angle B = 120^\circ$. Задача имеет два решения.