Номер 31, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. В треугольнике $ABC$ $AC = 4$ см, $BC = 2$ см. Может ли $\sin A$ быть равным $\frac{3}{5}$?

31. В треугольнике ABC AC = 4 см, BC = 2 см. Может ли $ \sin A $ быть равным $ \frac{3}{5} $?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем треугольнике $ABC$ известны стороны $AC$ и $BC$. Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, а сторона $AC$ — напротив угла $B$. Обозначим их длины как $a$ и $b$ соответственно:

$a = BC = 2$ см

$b = AC = 4$ см

Предположим, что $\sin A = \frac{3}{5}$.

Подставим известные значения в соотношение из теоремы синусов, чтобы найти синус угла $B$:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{2}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{\sin B}$

Теперь выразим $\sin B$ из этого уравнения:

$\sin B = \frac{4 \cdot \sin A}{2} = \frac{4 \cdot \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{12}{5}}{2} = \frac{12}{5 \cdot 2} = \frac{12}{10} = 1.2$

Мы получили, что значение $\sin B$ должно быть равно $1.2$. Однако, область значений функции синус для любого угла, включая углы треугольника (от 0° до 180°), лежит в пределах от $0$ до $1$. Синус угла не может быть больше $1$.

Полученное противоречие ($\sin B = 1.2 > 1$) означает, что наше первоначальное предположение о том, что $\sin A$ может быть равен $\frac{3}{5}$ при заданных длинах сторон, неверно. Треугольник с такими параметрами существовать не может.

Ответ: нет, не может.