Номер 38, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $b$, а угол при вершине равен $\alpha$. Найдите основание треугольника и биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

38. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $b$, а угол при вершине равен $\alpha$. Найдите основание треугольника и биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, боковые стороны $AB = BC = b$, а угол при вершине $\angle ABC = \alpha$.

1. Нахождение основания треугольника

Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка $H$ — середина основания $AC$, а угол $\angle CBH = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Гипотенуза $BC=b$, а угол $\angle CBH = \frac{\alpha}{2}$. Катет $HC$, противолежащий этому углу, можно найти через синус:

$HC = BC \cdot \sin(\angle CBH) = b \sin(\frac{\alpha}{2})$

Так как высота $BH$ является медианой, $AC = 2 \cdot HC$.

$AC = 2b \sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $2b \sin(\frac{\alpha}{2})$

2. Нахождение биссектрисы, проведённой из вершины угла при основании

Сначала найдём углы при основании треугольника $ABC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ и углы при основании равны, то:

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$

Пусть $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, проведённая к стороне $BC$. Она делит угол $\angle BAC$ пополам:

$\angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нём известны сторона $AB=b$ и два угла: $\angle ABD = \alpha$ и $\angle BAD = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Найдём третий угол этого треугольника, $\angle ADB$:

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle ABD + \angle BAD) = 180^\circ - (\alpha + 45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = 180^\circ - 45^\circ - \frac{3\alpha}{4} = 135^\circ - \frac{3\alpha}{4}$

Применим теорему синусов для треугольника $ABD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Подставим известные значения:

$\frac{AD}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(135^\circ - \frac{3\alpha}{4})}$

Отсюда выражаем длину биссектрисы $AD$:

$AD = \frac{b \sin(\alpha)}{\sin(135^\circ - \frac{3\alpha}{4})}$

Ответ: $\frac{b \sin(\alpha)}{\sin(135^\circ - \frac{3\alpha}{4})}$