Номер 42, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Основания равнобокой трапеции равны 2 см и 12 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

42. Основания равнобокой трапеции равны 2 см и 12 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, $AD = 12$ см, $BC = 2$ см, а боковые стороны $AB = CD = 13$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя ее вершинами. Рассмотрим треугольник $ACD$. Радиус $R$ описанной около треугольника окружности можно найти по формуле:$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.Для нахождения радиуса нам необходимо определить длину диагонали $AC$ и высоту трапеции.

1. Найдем высоту трапеции.
Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = CH$:$CH^2 = CD^2 - HD^2$$h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$h = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Найдем длину диагонали трапеции.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Длина отрезка $AH$ равна:$AH = AD - HD = 12 - 5 = 7$ см.По теореме Пифагора найдем диагональ $AC$:$AC^2 = AH^2 + CH^2$$AC^2 = 7^2 + 12^2 = 49 + 144 = 193$$AC = \sqrt{193}$ см.

3. Найдем радиус описанной окружности.
Теперь у нас есть все необходимые данные для треугольника $ACD$: стороны $AD = 12$ см, $CD = 13$ см, $AC = \sqrt{193}$ см.Найдем площадь треугольника $ACD$. Его основание $AD = 12$ см, а высота, проведенная к этому основанию, равна высоте трапеции $h = 12$ см.$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$ см².Подставим найденные значения в формулу для радиуса описанной окружности:$R = \frac{AD \cdot CD \cdot AC}{4 \cdot S_{\triangle ACD}} = \frac{12 \cdot 13 \cdot \sqrt{193}}{4 \cdot 72}$$R = \frac{156 \sqrt{193}}{288}$Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:$R = \frac{13 \sqrt{193}}{24}$ см.

Ответ: $\frac{13\sqrt{193}}{24}$ см.