Номер 46, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 10$ см, $\angle C = 76^\circ$, $\angle B = 62^\circ$;

2) $AB = 7$ см, $BC = 11$ см, $\angle B = 96^\circ$;

3) $AB = 7$ см, $BC = 11$ см, $AC = 16$ см;

4) $AB = 18$ см, $BC = 20$ см, $\angle A = 110^\circ$;

5) $AB = 12$ см, $BC = 15$ см, $\angle A = 50^\circ$;

6) $AB = 14$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 25^\circ$;

7) $AB = 28$ см, $BC = 12$ см, $\angle A = 35^\circ$.

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 10$ см, $\angle C = 76^\circ$, $\angle B = 62^\circ$;

2) $AB = 7$ см, $BC = 11$ см, $\angle B = 96^\circ$;

3) $AB = 7$ см, $BC = 11$ см, $AC = 16$ см;

4) $AB = 18$ см, $BC = 20$ см, $\angle A = 110^\circ$;

5) $AB = 12$ см, $BC = 15$ см, $\angle A = 50^\circ$;

6) $AB = 14$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 25^\circ$;

7) $AB = 28$ см, $BC = 12$ см, $\angle A = 35^\circ$.

1) AC = 10 см, ∠C = 76°, ∠B = 62°
Дано: сторона $b = AC = 10$ см, угол $∠C = 76°$, угол $∠B = 62°$.
Необходимо найти: сторону $a$ (BC), сторону $c$ (AB) и угол $∠A$.
1. Находим угол $∠A$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:
$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 62° - 76° = 42°$.
2. Используем теорему синусов для нахождения неизвестных сторон AB и BC.
Теорема синусов: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
Подставляем известные значения:
$ \frac{BC}{\sin 42°} = \frac{10}{\sin 62°} = \frac{AB}{\sin 76°} $
3. Находим сторону BC ($a$):
$ BC = \frac{10 \cdot \sin 42°}{\sin 62°} \approx \frac{10 \cdot 0.6691}{0.8829} \approx 7.58 $ см.
4. Находим сторону AB ($c$):
$ AB = \frac{10 \cdot \sin 76°}{\sin 62°} \approx \frac{10 \cdot 0.9703}{0.8829} \approx 10.99 $ см.
Ответ: $∠A = 42°$, $BC \approx 7.6$ см, $AB \approx 11.0$ см.

2) AB = 7 см, BC = 11 см, ∠B = 96°
Дано: сторона $c = AB = 7$ см, сторона $a = BC = 11$ см, угол $∠B = 96°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠A$ и угол $∠C$.
1. Находим сторону AC ($b$) с помощью теоремы косинусов:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$AC^2 = 11^2 + 7^2 - 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot \cos 96°$
$AC^2 = 121 + 49 - 154 \cdot (-0.1045) = 170 + 16.093 = 186.093$
$AC = \sqrt{186.093} \approx 13.64$ см.
2. Находим угол $∠A$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b} $
$ \sin A = \frac{11 \cdot \sin 96°}{13.64} \approx \frac{11 \cdot 0.9945}{13.64} \approx 0.8020 $
$ ∠A = \arcsin(0.8020) \approx 53.3° $ (угол острый, так как противолежит меньшей стороне, чем AC).
3. Находим угол $∠C$:
$ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 53.3° - 96° = 30.7° $.
Ответ: $AC \approx 13.6$ см, $∠A \approx 53.3°$, $∠C \approx 30.7°$.

3) AB = 7 см, BC = 11 см, AC = 16 см
Дано: сторона $c = AB = 7$ см, сторона $a = BC = 11$ см, сторона $b = AC = 16$ см.
Необходимо найти: углы $∠A, ∠B, ∠C$.
Используем теорему косинусов для нахождения углов.
1. Находим угол $∠A$ (противолежит стороне $a = 11$):
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{16^2 + 7^2 - 11^2}{2 \cdot 16 \cdot 7} = \frac{256 + 49 - 121}{224} = \frac{184}{224} \approx 0.8214 $
$ ∠A = \arccos(0.8214) \approx 34.8° $.
2. Находим угол $∠B$ (противолежит стороне $b = 16$):
$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{11^2 + 7^2 - 16^2}{2 \cdot 11 \cdot 7} = \frac{121 + 49 - 256}{154} = \frac{-86}{154} \approx -0.5584 $
$ ∠B = \arccos(-0.5584) \approx 124.0° $.
3. Находим угол $∠C$ (противолежит стороне $c = 7$):
$ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 34.8° - 124.0° = 21.2° $.
Ответ: $∠A \approx 34.8°$, $∠B \approx 124.0°$, $∠C \approx 21.2°$.

4) AB = 18 см, BC = 20 см, ∠A = 110°
Дано: сторона $c = AB = 18$ см, сторона $a = BC = 20$ см, угол $∠A = 110°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠B$ и угол $∠C$.
1. Находим угол $∠C$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a} $
$ \sin C = \frac{18 \cdot \sin 110°}{20} \approx \frac{18 \cdot 0.9397}{20} \approx 0.8457 $
$ ∠C = \arcsin(0.8457) $. Так как угол $∠A$ тупой (110°), то угол $∠C$ может быть только острым. $∠C \approx 57.8°$.
2. Находим угол $∠B$:
$ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 110° - 57.8° = 12.2° $.
3. Находим сторону AC ($b$) по теореме синусов:
$ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} $
$ AC = \frac{20 \cdot \sin 12.2°}{\sin 110°} \approx \frac{20 \cdot 0.2113}{0.9397} \approx 4.50 $ см.
Ответ: $AC \approx 4.5$ см, $∠B \approx 12.2°$, $∠C \approx 57.8°$.

5) AB = 12 см, BC = 15 см, ∠A = 50°
Дано: сторона $c = AB = 12$ см, сторона $a = BC = 15$ см, угол $∠A = 50°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠B$ и угол $∠C$.
1. Находим угол $∠C$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a} $
$ \sin C = \frac{12 \cdot \sin 50°}{15} \approx \frac{12 \cdot 0.7660}{15} \approx 0.6128 $
$∠C = \arcsin(0.6128) \approx 37.8°$. Второй возможный угол $180° - 37.8° = 142.2°$ не подходит, так как $50° + 142.2° > 180°$.
2. Находим угол $∠B$:
$ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 50° - 37.8° = 92.2° $.
3. Находим сторону AC ($b$) по теореме синусов:
$ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} $
$ AC = \frac{15 \cdot \sin 92.2°}{\sin 50°} \approx \frac{15 \cdot 0.9992}{0.7660} \approx 19.57 $ см.
Ответ: $AC \approx 19.6$ см, $∠B \approx 92.2°$, $∠C \approx 37.8°$.

6) AB = 14 см, BC = 9 см, ∠A = 25°
Дано: сторона $c = AB = 14$ см, сторона $a = BC = 9$ см, угол $∠A = 25°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠B$ и угол $∠C$.
1. Находим угол $∠C$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a} $
$ \sin C = \frac{14 \cdot \sin 25°}{9} \approx \frac{14 \cdot 0.4226}{9} \approx 0.6574 $
Так как $ \sin C \approx 0.6574 $, существует два возможных угла $C$, сумма которых равна 180°:
$ ∠C_1 = \arcsin(0.6574) \approx 41.1° $
$ ∠C_2 = 180° - 41.1° = 138.9° $
Оба варианта возможны, так как $∠A + ∠C_1 < 180°$ и $∠A + ∠C_2 < 180°$. Следовательно, задача имеет два решения.

Решение 1:
$ ∠C_1 \approx 41.1° $.
$ ∠B_1 = 180° - ∠A - ∠C_1 = 180° - 25° - 41.1° = 113.9° $.
$ AC_1 = \frac{a \cdot \sin B_1}{\sin A} = \frac{9 \cdot \sin 113.9°}{\sin 25°} \approx \frac{9 \cdot 0.9142}{0.4226} \approx 19.5 $ см.

Решение 2:
$ ∠C_2 \approx 138.9° $.
$ ∠B_2 = 180° - ∠A - ∠C_2 = 180° - 25° - 138.9° = 16.1° $.
$ AC_2 = \frac{a \cdot \sin B_2}{\sin A} = \frac{9 \cdot \sin 16.1°}{\sin 25°} \approx \frac{9 \cdot 0.2773}{0.4226} \approx 5.9 $ см.
Ответ: Задача имеет два решения:
1) $AC \approx 19.5$ см, $∠B \approx 113.9°$, $∠C \approx 41.1°$.
2) $AC \approx 5.9$ см, $∠B \approx 16.1°$, $∠C \approx 138.9°$.

7) AB = 28 см, BC = 12 см, ∠A = 35°
Дано: сторона $c = AB = 28$ см, сторона $a = BC = 12$ см, угол $∠A = 35°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠B$ и угол $∠C$.
1. Попробуем найти угол $∠C$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a} $
$ \sin C = \frac{28 \cdot \sin 35°}{12} \approx \frac{28 \cdot 0.5736}{12} \approx \frac{16.06}{12} \approx 1.338 $
2. Значение синуса угла не может быть больше 1. Так как мы получили $ \sin C \approx 1.338 > 1 $, это означает, что треугольник с заданными параметрами не существует.
Ответ: Треугольник с такими сторонами и углом не существует.