Номер 47, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. В треугольнике ABC $AC = CB = 10$ см, $\angle A = 70^\circ$. Найдите:

1) сторону $AB$;

2) высоту $BK$;

3) медиану $BM$;

4) биссектрису $AD$;

5) радиус описанной окружности треугольника ABC;

6) радиус вписанной окружности треугольника ABC.

47. В треугольнике $ABC$ $AC = CB = 10$ см, $\angle A = 70^\circ$. Найдите:

1) сторону $AB$;

2) высоту $BK$;

3) медиану $BM$;

4) биссектрису $AD$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $AC = CB = 10$ см, $\angle A = 70^\circ$.

Поскольку $AC = CB$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle B = \angle A = 70^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине $C$: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

1) сторону AB

Сторону $AB$ можно найти, применив теорему синусов к треугольнику $ABC$: $\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставляем известные значения: $\frac{AB}{\sin(40^\circ)} = \frac{10}{\sin(70^\circ)}$

Отсюда получаем $AB$: $AB = \frac{10 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)}$ см.

Также можно найти $AB$, опустив высоту $CH$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. В прямоугольном треугольнике $ACH$ катет $AH = AC \cdot \cos(\angle A) = 10 \cos(70^\circ)$. Тогда $AB = 2 \cdot AH = 20 \cos(70^\circ)$ см.

Ответ: $20 \cos(70^\circ)$ см.

2) высоту BK

Высота $BK$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на сторону $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ (где $\angle BKC = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $BC = 10$ см и угол $\angle C = 40^\circ$.

Катет $BK$, противолежащий углу $C$, равен произведению гипотенузы на синус этого угла: $BK = BC \cdot \sin(\angle C) = 10 \sin(40^\circ)$ см.

Ответ: $10 \sin(40^\circ)$ см.

3) медиану BM

Медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой стороны $AC$. Следовательно, $MC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим треугольник $BMC$. В нем известны две стороны $BC = 10$ см, $MC = 5$ см и угол между ними $\angle C = 40^\circ$. Для нахождения стороны $BM$ воспользуемся теоремой косинусов:

$BM^2 = BC^2 + MC^2 - 2 \cdot BC \cdot MC \cdot \cos(\angle C)$

$BM^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \cos(40^\circ) = 100 + 25 - 100 \cos(40^\circ) = 125 - 100 \cos(40^\circ)$

$BM = \sqrt{125 - 100 \cos(40^\circ)}$ см.

Ответ: $\sqrt{125 - 100 \cos(40^\circ)}$ см.

4) биссектрису AD

Биссектриса $AD$ делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle CAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. В нем известна сторона $AC=10$ см и прилежащие к ней углы: $\angle C = 40^\circ$ и $\angle CAD = 35^\circ$. Найдем третий угол треугольника $ADC$: $\angle ADC = 180^\circ - (\angle C + \angle CAD) = 180^\circ - (40^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $ADC$: $\frac{AD}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$

$\frac{AD}{\sin(40^\circ)} = \frac{10}{\sin(105^\circ)}$

$AD = \frac{10 \sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)}$ см.

Ответ: $\frac{10 \sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)}$ см.

5) радиус описанной окружности треугольника ABC

Радиус $R$ описанной окружности найдем по следствию из теоремы синусов: $R = \frac{a}{2\sin A}$.

Используем сторону $AC = 10$ см и противолежащий ей угол $\angle B = 70^\circ$: $R = \frac{AC}{2 \sin(\angle B)} = \frac{10}{2 \sin(70^\circ)} = \frac{5}{\sin(70^\circ)}$ см.

Ответ: $\frac{5}{\sin(70^\circ)}$ см.

6) радиус вписанной окружности треугольника ABC

Радиус $r$ вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Найдем площадь $S$ треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} AC \cdot CB \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(40^\circ) = 50 \sin(40^\circ)$ см$^2$.

Найдем полупериметр $p$. Из пункта 1 мы знаем, что $AB = 20 \cos(70^\circ)$. $p = \frac{AC + CB + AB}{2} = \frac{10 + 10 + 20 \cos(70^\circ)}{2} = \frac{20(1 + \cos(70^\circ))}{2} = 10(1 + \cos(70^\circ))$ см.

Теперь найдем радиус $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{50 \sin(40^\circ)}{10(1 + \cos(70^\circ))} = \frac{5 \sin(40^\circ)}{1 + \cos(70^\circ)}$ см.

Ответ: $\frac{5 \sin(40^\circ)}{1 + \cos(70^\circ)}$ см.