Номер 44, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а основания относятся как 3 : 13. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 13 см.

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а основания относятся как 3 : 13. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 13 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$. Диагональ $AC$ является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$. Радиус описанной окружности $R = 13$ см. Отношение оснований $BC : AD = 3 : 13$.

1. Найдем соотношение между сторонами трапеции.

Так как $AC$ — биссектриса угла $\angle BCD$, то $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным, и его боковые стороны, противолежащие равным углам, равны: $CD = AD$.

Трапеция $ABCD$ равнобокая, поэтому ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Таким образом, мы получаем, что боковая сторона трапеции равна ее большему основанию: $AB = CD = AD$.

2. Выразим стороны трапеции через переменную.

Из условия известно, что $BC : AD = 3 : 13$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда:

$BC = 3x$

$AD = 13x$

Исходя из найденного выше соотношения, боковые стороны равны:

$AB = CD = 13x$

3. Найдем синус угла при большем основании.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$ можно найти по формуле:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13x - 3x}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем $CD$ — гипотенуза, $HD$ — катет. Косинус угла $D$ равен:

$\cos(\angle D) = \frac{HD}{CD} = \frac{5x}{13x} = \frac{5}{13}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\angle D) + \cos^2(\angle D) = 1$, найдем синус угла $D$:

$\sin(\angle D) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle D)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

(Мы берем положительное значение корня, так как угол $D$ в трапеции острый).

4. Найдем диагональ трапеции.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Он, как и вся трапеция, вписан в окружность радиусом $R = 13$ см. По теореме синусов для треугольника $ACD$:

$\frac{AC}{\sin(\angle D)} = 2R$

Отсюда диагональ $AC$ равна:

$AC = 2R \cdot \sin(\angle D)$

Подставим известные значения:

$AC = 2 \cdot 13 \cdot \frac{12}{13} = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.