Номер 40, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BHC$, равен $7 \text{ см}$.

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BHC$, равен 7 см.

Пусть $R$ – радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{BHC}$ – радиус окружности, описанной около треугольника $BHC$. По условию задачи, $R_{BHC} = 7$ см.

Воспользуемся обобщенной теоремой синусов.

Для треугольника $ABC$ справедливо соотношение:$ \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = 2R $Отсюда $R = \frac{BC}{2\sin(\angle BAC)}$.

Для треугольника $BHC$ справедливо соотношение:$ \frac{BC}{\sin(\angle BHC)} = 2R_{BHC} $Отсюда $R_{BHC} = \frac{BC}{2\sin(\angle BHC)}$.

Найдем связь между углами $\angle BAC$ и $\angle BHC$. Пусть $BB_1$ и $CC_1$ – высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $B$ и $C$ соответственно. Точка $H$ является точкой их пересечения (ортоцентром).

Рассмотрим четырехугольник $AC_1HB_1$. Сумма его углов равна $360^\circ$. Так как $BB_1$ и $CC_1$ – высоты, то $\angle AC_1H = 90^\circ$ и $\angle AB_1H = 90^\circ$.Следовательно, сумма двух других углов четырехугольника равна:$ \angle C_1AB_1 + \angle C_1HB_1 = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ $

Угол $\angle C_1AB_1$ совпадает с углом $\angle BAC$. Углы $\angle C_1HB_1$ и $\angle BHC$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle C_1HB_1 = \angle BHC$.Таким образом, мы получаем соотношение:$ \angle BAC + \angle BHC = 180^\circ $

Это означает, что углы $\angle BAC$ и $\angle BHC$ являются смежными (в сумме дают $180^\circ$). Для таких углов их синусы равны:$ \sin(\angle BHC) = \sin(180^\circ - \angle BAC) = \sin(\angle BAC) $

Теперь сравним выражения для радиусов $R$ и $R_{BHC}$:$ R = \frac{BC}{2\sin(\angle BAC)} $$ R_{BHC} = \frac{BC}{2\sin(\angle BHC)} $

Поскольку $\sin(\angle BAC) = \sin(\angle BHC)$, правые части этих равенств равны. Следовательно, равны и левые части:$ R = R_{BHC} $

Так как по условию радиус окружности, описанной около треугольника $BHC$, равен 7 см, то и радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, также равен 7 см.

Ответ: 7 см.