Номер 36, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. В треугольнике $ABC$ $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Найдите стороны $AB$ и $BC$.

36. В треугольнике ABC $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Найдите стороны $AB$ и $BC$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Но для её применения нам необходимо знать все три угла треугольника.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$, мы можем найти третий угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Теперь запишем теорему синусов для треугольника ABC:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные нам значения $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и найденное выражение для $\angle C$:

$\frac{BC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, мы можем упростить синус угла C:

$\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$

Таким образом, соотношение принимает окончательный вид:

$\frac{BC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\alpha + \beta)}$

Из этого двойного равенства мы можем найти искомые стороны AB и BC.

BC

Чтобы найти сторону BC, приравняем первую и вторую части пропорции:

$\frac{BC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Выразим из этого уравнения сторону BC:

$BC = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Ответ: $BC = \frac{b \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

AB

Чтобы найти сторону AB, приравняем вторую и третью части пропорции:

$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\alpha + \beta)}$

Выразим из этого уравнения сторону AB:

$AB = \frac{b \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta)}$

Ответ: $AB = \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta)}$