Номер 37, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. На рисунке 55 $\angle BAC = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle B = \alpha$, $\angle DAC = \beta$, $\angle DCA = \varphi$. Найдите отрезок $DC$.

Рис. 55

37. На рисунке 55 $\angle BAC = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle B = \alpha$, $\angle DAC = \beta$, $\angle DCA = \varphi$. Найдите отрезок $DC$.

Рис. 55

Для решения задачи разобьем ее на два этапа. Сначала найдем сторону AC, которая является общей для треугольников ABC и ADC. Затем, зная сторону AC и углы в треугольнике ADC, найдем искомую сторону DC.

1. Нахождение стороны AC из треугольника ABC.

Треугольник ABC является прямоугольным, так как по условию $\angle BAC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $BC = a$ и прилежащий к катету AB угол $\angle B = \alpha$. Сторона AC является катетом, противолежащим углу $\angle B$.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла. Следовательно:

$\sin(\angle B) = \frac{AC}{BC}$

Подставим известные значения:

$\sin(\alpha) = \frac{AC}{a}$

Отсюда выражаем длину стороны AC:

$AC = a \cdot \sin(\alpha)$

2. Нахождение стороны DC из треугольника ADC.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. В нем нам известна сторона $AC = a \sin(\alpha)$ и два угла: $\angle DAC = \beta$ и $\angle DCA = \phi$. Мы можем найти третий угол $\angle ADC$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle ADC = 180^\circ - (\angle DAC + \angle DCA) = 180^\circ - (\beta + \phi)$

Для нахождения стороны DC воспользуемся теоремой синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов данного треугольника:

$\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$

Выразим искомую сторону DC:

$DC = \frac{AC \cdot \sin(\angle DAC)}{\sin(\angle ADC)}$

Подставим известные и ранее найденные значения:

$DC = \frac{(a \sin(\alpha)) \cdot \sin(\beta)}{\sin(180^\circ - (\beta + \phi))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\sin(180^\circ - (\beta + \phi)) = \sin(\beta + \phi)$

Таким образом, окончательное выражение для длины отрезка DC:

$DC = \frac{a \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\beta + \phi)}$

Ответ: $DC = \frac{a \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\beta + \phi)}$.