Номер 45, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема синусов. Вариант 3. Упражнения - номер 45, страница 72.

Условие 2017.

45. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BKC$, равен 18 см, $AB = 7$ см, $BC = 21$ см.

Условие 2021.

45. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BKC$, равен $18$ см, $AB = 7$ см, $BC = 21$ см.

Решение.

Решение 2 (2021).

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, согласно которой для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около него окружности ($2R$).

1. Найдем синус угла $ \angle BKC $ в треугольнике $BKC$.

Для треугольника $BKC$ известны: сторона $BC = 21$ см и радиус описанной окружности $R_{BKC} = 18$ см. Угол, противолежащий стороне $BC$, — это угол $\angle BKC$.

По теореме синусов:

$ \frac{BC}{\sin(\angle BKC)} = 2R_{BKC} $

Выразим синус угла $\angle BKC$:

$ \sin(\angle BKC) = \frac{BC}{2R_{BKC}} = \frac{21}{2 \cdot 18} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12} $

2. Найдем синус угла $ \angle AKB $ в треугольнике $ABK$.

Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AC$, углы $\angle AKB$ и $\angle BKC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

$ \angle AKB + \angle BKC = 180^\circ $

Синусы смежных углов равны, так как $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) $. Следовательно:

$ \sin(\angle AKB) = \sin(180^\circ - \angle BKC) = \sin(\angle BKC) = \frac{7}{12} $

3. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$.

Для треугольника $ABK$ известны: сторона $AB = 7$ см и синус противолежащего ей угла $ \sin(\angle AKB) = \frac{7}{12} $. Обозначим искомый радиус как $R_{ABK}$.

Применим теорему синусов для треугольника $ABK$:

$ \frac{AB}{\sin(\angle AKB)} = 2R_{ABK} $

Выразим и вычислим $R_{ABK}$:

$ R_{ABK} = \frac{AB}{2 \sin(\angle AKB)} = \frac{7}{2 \cdot \frac{7}{12}} = \frac{7}{\frac{14}{12}} = \frac{7 \cdot 12}{14} = \frac{12}{2} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.