Номер 50, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Меньшая сторона треугольника равна 7 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $9 : 10 : 11$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

50. Меньшая сторона треугольника равна 7 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как 9 : 10 : 11. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в который вписана окружность. Точки касания $M, N, P$ делят окружность на три дуги, градусные меры которых соотносятся как $9:10:11$.

1. Найдем градусные меры дуг вписанной окружности.
Полная окружность составляет $360^\circ$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда градусные меры дуг равны $9x, 10x$ и $11x$.
Составим уравнение: $9x + 10x + 11x = 360^\circ$
$30x = 360^\circ$
$x = 12^\circ$
Следовательно, градусные меры дуг равны:

• $9 \cdot 12^\circ = 108^\circ$
• $10 \cdot 12^\circ = 120^\circ$
• $11 \cdot 12^\circ = 132^\circ$

2. Найдем углы треугольника.
Угол треугольника, образованный двумя касательными, проведенными из одной вершины, связан с градусной мерой дуги, заключенной между точками касания. Величина угла треугольника равна полуразности большей и меньшей дуг, отсекаемых сторонами угла. В нашем случае, угол $\alpha$ треугольника и центральный угол $\beta$, опирающийся на дугу между точками касания, связаны соотношением $\alpha + \beta = 180^\circ$. Так как градусная мера дуги равна соответствующему центральному углу, то мы можем найти углы треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\angle A, \angle B, \angle C$. Они соответствуют дугам, которые *не* лежат напротив этих вершин.
$\angle A = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$
$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$
Проверка: $48^\circ + 60^\circ + 72^\circ = 180^\circ$. Углы найдены верно.

3. Найдем неизвестные стороны треугольника.
В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Наименьший угол треугольника равен $48^\circ$. По условию, меньшая сторона равна 7 см. Значит, сторона, лежащая напротив угла $48^\circ$, равна 7 см.

Пусть $a=7$ см, $b$ и $c$ — неизвестные стороны. Тогда угол напротив стороны $a$ равен $\alpha = 48^\circ$, угол напротив стороны $b$ — $\beta = 60^\circ$, а угол напротив стороны $c$ — $\gamma = 72^\circ$.
Воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{7}{\sin 48^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 72^\circ}$
Найдем сторону $b$: $b = \frac{7 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 48^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.8660}{0.7431} \approx \frac{6.062}{0.7431} \approx 8.16$ см.
Найдем сторону $c$: $c = \frac{7 \cdot \sin 72^\circ}{\sin 48^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.9511}{0.7431} \approx \frac{6.6577}{0.7431} \approx 8.96$ см.

Ответ: две другие стороны треугольника равны примерно 8,16 см и 8,96 см.