Номер 49, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Большая сторона треугольника равна 4 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 4 : 11$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

49. Большая сторона треугольника равна 4 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 4 : 11. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых, согласно условию, относятся как $3:4:11$. Сумма градусных мер всех дуг окружности составляет $360^\circ$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны $3x$, $4x$ и $11x$. Составим и решим уравнение:

$3x + 4x + 11x = 360^\circ$

$18x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой из трех дуг:

• Первая дуга: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$
• Вторая дуга: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$
• Третья дуга: $11 \cdot 20^\circ = 220^\circ$

Углы вписанного в окружность треугольника равны половине градусной меры дуг, на которые они опираются. Найдем углы нашего треугольника. Обозначим их как $\alpha, \beta, \gamma$.

$\alpha = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

$\beta = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$

$\gamma = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Для проверки сложим полученные углы: $30^\circ + 40^\circ + 110^\circ = 180^\circ$. Сумма углов верна.

В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Наибольший угол в нашем треугольнике равен $110^\circ$. Следовательно, сторона, лежащая напротив этого угла, является самой большой. По условию задачи, ее длина равна 4 см. Обозначим стороны треугольника, противолежащие углам $\alpha, \beta, \gamma$, как $a, b, c$ соответственно. Таким образом, $c = 4$ см.

Для нахождения двух других, неизвестных сторон ($a$ и $b$) воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$

Подставим известные значения:

$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 40^\circ} = \frac{4}{\sin 110^\circ}$

Теперь найдем длины неизвестных сторон.

Найдем сторону $a$:

$a = \frac{4 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 110^\circ}$

Используя значение $\sin 30^\circ = 0.5$ и формулу приведения $\sin 110^\circ = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ$, получим:

$a = \frac{4 \cdot 0.5}{\sin 70^\circ} = \frac{2}{\sin 70^\circ}$ см.

Найдем сторону $b$:

$b = \frac{4 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 110^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$ см.

Ответ: две неизвестные стороны треугольника равны $\frac{2}{\sin 70^\circ}$ см и $\frac{4 \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$ см.