Номер 27, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Сторона треугольника равна 20 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 21 см и 24 см. Найдите третью медиану треугольника.

27. Сторона треугольника равна 20 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 21 см и 24 см. Найдите третью медиану треугольника.

Пусть дан треугольник, в котором сторона $a = 20$ см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны $m_b = 21$ см и $m_c = 24$ см. Требуется найти длину третьей медианы $m_a$.

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть медианы из вершин $B$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Тогда мы можем найти длины отрезков $BO$ и $CO$:

$BO = \frac{2}{3} m_b = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14$ см.

$CO = \frac{2}{3} m_c = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Его стороны равны $BO = 14$ см, $CO = 16$ см, и $BC = a = 20$ см. Третья медиана $m_a$ проводится из вершины $A$ к середине стороны $BC$. Обозначим середину стороны $BC$ как $A_1$. Тогда отрезок $OA_1$ является медианой треугольника $BOC$, проведенной из вершины $O$ к стороне $BC$.

Для нахождения длины медианы треугольника воспользуемся формулой, выражающей ее через длины сторон. Для медианы $m_z$, проведенной к стороне $z$, формула имеет вид:

$m_z^2 = \frac{2x^2 + 2y^2 - z^2}{4}$

Применим эту формулу для нахождения длины медианы $OA_1$ в треугольнике $BOC$ со сторонами $BO=14$, $CO=16$ и $BC=20$:

$OA_1^2 = \frac{2 \cdot (BO)^2 + 2 \cdot (CO)^2 - (BC)^2}{4} = \frac{2 \cdot 14^2 + 2 \cdot 16^2 - 20^2}{4}$

$OA_1^2 = \frac{2 \cdot 196 + 2 \cdot 256 - 400}{4} = \frac{392 + 512 - 400}{4} = \frac{504}{4} = 126$

Таким образом, длина отрезка $OA_1 = \sqrt{126}$ см.

По свойству точки пересечения медиан, отрезок $OA_1$ составляет $\frac{1}{3}$ от всей длины медианы $m_a$. То есть, $m_a = 3 \cdot OA_1$.

$m_a = 3 \cdot \sqrt{126}$

Упростим корень из 126:

$\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$

Подставим упрощенное значение обратно в выражение для $m_a$:

$m_a = 3 \cdot 3\sqrt{14} = 9\sqrt{14}$ см.

Ответ: $9\sqrt{14}$ см.