Номер 22, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Стороны треугольника равны 9 см, 16 см и 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наименьшего угла.

22. Стороны треугольника равны 9 см, 16 см и 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наименьшего угла.

Пусть стороны треугольника равны $a = 9$ см, $b = 16$ см и $c = 20$ см.

В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол. Наименьшая сторона – $a = 9$ см. Следовательно, необходимо найти длину биссектрисы, проведенной из вершины угла, противолежащего этой стороне. Обозначим эту биссектрису $l_a$.

Длину биссектрисы можно вычислить по формуле: $l_a^2 = bc - mn$, где $b$ и $c$ – стороны, образующие угол, из которого проведена биссектриса, а $m$ и $n$ – отрезки, на которые биссектриса делит противолежащую сторону $a$.

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{m}{n} = \frac{c}{b}$.

В нашем случае прилежащие стороны $b = 16$ см и $c = 20$ см. Противолежащая сторона $a = 9$ см, значит $m + n = 9$.

Составим и решим систему уравнений. Из пропорции $\frac{m}{n} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$ получаем $m = \frac{5}{4}n$.

Подставим это выражение в уравнение $m + n = 9$:
$\frac{5}{4}n + n = 9$
$\frac{9}{4}n = 9$
$n = 4$ см.

Теперь найдем $m$:
$m = 9 - n = 9 - 4 = 5$ см.

Теперь, зная все необходимые значения, вычислим длину биссектрисы $l_a$:
$l_a^2 = b \cdot c - m \cdot n = 16 \cdot 20 - 5 \cdot 4 = 320 - 20 = 300$.

Отсюда, $l_a = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.