Номер 15, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Две стороны треугольника относятся как $7 : 8$, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $84 \text{ см}$.

15. Две стороны треугольника относятся как 7 : 8, а угол между ними равен 120°. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 84 см.

Пусть две стороны треугольника, отношение которых известно, равны $a$ и $b$, а третья сторона равна $c$. Угол между сторонами $a$ и $b$ равен $\gamma = 120^\circ$.

Согласно условию, $a : b = 7 : 8$. Мы можем выразить эти стороны через коэффициент пропорциональности $x$:
$a = 7x$
$b = 8x$

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
Подставим известные значения. Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -0.5$ или $-\frac{1}{2}$, получим:
$c^2 = (7x)^2 + (8x)^2 - 2 \cdot (7x) \cdot (8x) \cdot (-\frac{1}{2})$
$c^2 = 49x^2 + 64x^2 + (7x)(8x)$
$c^2 = 49x^2 + 64x^2 + 56x^2$
$c^2 = 169x^2$
$c = \sqrt{169x^2} = 13x$ (длина стороны является положительной величиной).

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = a + b + c$
По условию задачи, периметр равен 84 см. Подставим выражения для сторон через $x$ в формулу периметра:
$7x + 8x + 13x = 84$
$28x = 84$
$x = \frac{84}{28}$
$x = 3$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длины сторон треугольника:
Первая сторона: $a = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см.
Вторая сторона: $b = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см.
Третья сторона: $c = 13x = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 21 см, 24 см и 39 см.