Номер 8, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Найдите косинус меньшего угла треугольника, стороны которого равны 9 см, 10 см и 15 см.

8. Найдите косинус меньшего угла треугольника, стороны которого равны 9 см, 10 см и 15 см.

Для нахождения косинуса угла треугольника, зная все три его стороны, используется теорема косинусов. Она гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол, противолежащий стороне $c$.

В любом треугольнике наименьший угол лежит напротив наименьшей стороны. В нашем случае стороны равны 9 см, 10 см и 15 см. Наименьшая сторона — 9 см. Следовательно, нам нужно найти косинус угла, противолежащего этой стороне.

Обозначим стороны треугольника:

• $a = 10$ см
• $b = 15$ см
• $c = 9$ см (наименьшая сторона)

Нам нужно найти косинус угла $\gamma$, который лежит напротив стороны $c$. Выразим $\cos(\gamma)$ из формулы теоремы косинусов:

$2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2 - c^2$

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Подставим значения длин сторон в полученную формулу:

$\cos(\gamma) = \frac{10^2 + 15^2 - 9^2}{2 \cdot 10 \cdot 15}$

Произведем вычисления:

$\cos(\gamma) = \frac{100 + 225 - 81}{300}$

$\cos(\gamma) = \frac{325 - 81}{300}$

$\cos(\gamma) = \frac{244}{300}$

Теперь сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4:

$\cos(\gamma) = \frac{244 \div 4}{300 \div 4} = \frac{61}{75}$

Ответ: $\frac{61}{75}$