Номер 7, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Найдите сторону AB треугольника ABC, если:

1) $BC = 5$ см, $AC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$;

2) $BC = 8$ см, $AC = 3\sqrt{3}$ см, $\angle C = 150^\circ$.

7. Найдите сторону $AB$ треугольника $ABC$, если:

1) $BC = 5 \text{ см}$, $AC = 4\sqrt{2} \text{ см}$, $\angle C = 45^\circ$;

2) $BC = 8 \text{ см}$, $AC = 3\sqrt{3} \text{ см}$, $\angle C = 150^\circ$.

Для нахождения стороны $AB$ в обоих случаях используется теорема косинусов. Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула для нахождения стороны $AB$ (обозначим ее как $c$) через стороны $BC$ (обозначим как $a$) и $AC$ (обозначим как $b$) и угол $\angle C$ между ними выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle C)$

Или, используя обозначения из задачи:

$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle C)$

1) Дано: $BC = 5$ см, $AC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$.

Подставляем значения в формулу теоремы косинусов:

$AB^2 = 5^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

Вычисляем квадраты сторон и значение косинуса:

$5^2 = 25$

$(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем вычисленные значения обратно в формулу:

$AB^2 = 25 + 32 - 2 \cdot 5 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 57 - 40\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 57 - \frac{40 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2}$

$AB^2 = 57 - \frac{40 \cdot 2}{2}$

$AB^2 = 57 - 40$

$AB^2 = 17$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину стороны $AB$:

$AB = \sqrt{17}$ см.

Ответ: $\sqrt{17}$ см.

2) Дано: $BC = 8$ см, $AC = 3\sqrt{3}$ см, $\angle C = 150^\circ$.

Снова подставляем значения в формулу теоремы косинусов:

$AB^2 = 8^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)$

Вычисляем квадраты сторон и значение косинуса:

$8^2 = 64$

$(3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем вычисленные значения обратно в формулу:

$AB^2 = 64 + 27 - 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AB^2 = 91 - 48\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AB^2 = 91 + \frac{48\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$

$AB^2 = 91 + \frac{48 \cdot 3}{2}$

$AB^2 = 91 + \frac{144}{2}$

$AB^2 = 91 + 72$

$AB^2 = 163$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину стороны $AB$:

$AB = \sqrt{163}$ см.

Ответ: $\sqrt{163}$ см.