Номер 12, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на 2 см и на $3\sqrt{3}$ см от вершин $A$ и $B$ соответственно. Найдите сторону $AB$, если $\angle C = 120^\circ$.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на 2 см и на $3\sqrt{3}$ см от вершин $A$ и $B$ соответственно. Найдите сторону $AB$, если $\angle C=120^{\circ}$.

Пусть $I$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. По определению, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезки $AI$ и $BI$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ соответственно.

Из условия задачи нам даны расстояния от центра $I$ до вершин $A$ и $B$:
$IA = 2$ см
$IB = 3\sqrt{3}$ см

Также нам известен угол $C$: $\angle C = 120^{\circ}$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $180^{\circ}$. Найдем сумму углов $A$ и $B$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle A + \angle B + 120^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle A + \angle B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$

Рассмотрим треугольник $AIB$. Так как $AI$ и $BI$ — биссектрисы, то углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих углов треугольника $ABC$:
$\angle IAB = \frac{\angle A}{2}$
$\angle IBA = \frac{\angle B}{2}$

Сумма углов в треугольнике $AIB$ также равна $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle AIB$:
$\angle AIB = 180^{\circ} - (\angle IAB + \angle IBA) = 180^{\circ} - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right) = 180^{\circ} - \frac{\angle A + \angle B}{2}$

Подставим найденное значение суммы углов $\angle A + \angle B = 60^{\circ}$:
$\angle AIB = 180^{\circ} - \frac{60^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$

Теперь в треугольнике $AIB$ известны две стороны $IA=2$, $IB=3\sqrt{3}$ и угол между ними $\angle AIB = 150^{\circ}$. Для нахождения длины третьей стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов:
$AB^2 = IA^2 + IB^2 - 2 \cdot IA \cdot IB \cdot \cos(\angle AIB)$

Подставим известные значения в формулу:
$AB^2 = 2^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ})$
$AB^2 = 4 + 9 \cdot 3 - 12\sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ})$
$AB^2 = 4 + 27 - 12\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$AB^2 = 31 + \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
$AB^2 = 31 + \frac{12 \cdot 3}{2}$
$AB^2 = 31 + 18$
$AB^2 = 49$

Извлекая квадратный корень, находим длину стороны $AB$:
$AB = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.