Номер 5, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 150^\circ \cos 135^\circ \tan 120^\circ $;

2) $ \cot^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \tan 179^\circ $.

5. Найдите значение выражения:

1) $\sin 150^\circ \cos 135^\circ \text{tg } 120^\circ$;

2) $\text{ctg}^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \text{tg } 179^\circ$.

1) $\sin 150^\circ \cos 135^\circ \tg 120^\circ$

Для решения этого примера необходимо найти значения каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения. Формулы приведения позволяют свести вычисление тригонометрических функций от произвольных углов к вычислению их значений для углов в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Найдем значение $\sin 150^\circ$:

Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Найдем значение $\cos 135^\circ$:

Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$:

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем значение $\tg 120^\circ$:

Угол $120^\circ$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Используем формулу приведения $\tg(180^\circ - \alpha) = -\tg \alpha$:

$\tg 120^\circ = \tg(180^\circ - 60^\circ) = -\tg 60^\circ = -\sqrt{3}$

Теперь перемножим полученные значения:

$\sin 150^\circ \cos 135^\circ \tg 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{1 \cdot (-\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

2) $\text{ctg}^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \tg 179^\circ$

Решим это выражение по частям, вычисляя значение каждого слагаемого.

Вычислим первое слагаемое $\text{ctg}^2 150^\circ$:

Сначала найдем значение $\text{ctg} 150^\circ$. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Используем формулу приведения $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$:

$\text{ctg} 150^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{ctg} 30^\circ = -\sqrt{3}$

Теперь возведем в квадрат:

$\text{ctg}^2 150^\circ = (-\sqrt{3})^2 = 3$

Вычислим второе слагаемое $2\sin^2 135^\circ$:

Сначала найдем значение $\sin 135^\circ$. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь возведем в квадрат и умножим на 2:

$2\sin^2 135^\circ = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Вычислим третье слагаемое $6\sin 0^\circ \tg 179^\circ$:

Значение синуса нуля градусов равно нулю:

$\sin 0^\circ = 0$

При умножении любого числа на ноль получается ноль. Поэтому нам не требуется вычислять значение $\tg 179^\circ$:

$6\sin 0^\circ \tg 179^\circ = 6 \cdot 0 \cdot \tg 179^\circ = 0$

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$\text{ctg}^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \tg 179^\circ = 3 - 1 + 0 = 2$

Ответ: $2$