Номер 305, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Точка $K$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении $3 : 2$, считая от точки $B$. Отрезки $AC$ и $DK$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь треугольника $CEK$, если площадь треугольника $ADE$ равна $50 \text{ см}^2$.

305. Точка $K$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении 3 : 2, считая от точки $B$. Отрезки $AC$ и $DK$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь треугольника $CEK$, если площадь треугольника $ADE$ равна $50 \text{ см}^2$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Следовательно, $AD = BC = a$.

По условию, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $BK : KC = 3 : 2$. Это означает, что вся сторона $BC$ состоит из $3+2=5$ равных частей. Тогда длина отрезка $KC$ составляет две пятых от длины стороны $BC$.

$KC = \frac{2}{3+2} BC = \frac{2}{5} BC = \frac{2}{5}a$.

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CKE$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, то прямая, содержащая отрезок $KC$, параллельна прямой $AD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Углы $\angle DAE$ и $\angle KCE$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle DAE = \angle KCE$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $DK$. Углы $\angle ADK$ и $\angle CKD$ также являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle ADK = \angle CKD$.

Таким образом, треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle CKE$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия, который равен отношению их соответственных сторон:

$\frac{S_{ADE}}{S_{CKE}} = k^2 = \left(\frac{AD}{CK}\right)^2$.

Найдем коэффициент подобия $k$, который равен отношению сторон $AD$ и $CK$:

$k = \frac{AD}{CK} = \frac{a}{\frac{2}{5}a} = \frac{5}{2}$.

Теперь подставим это отношение в формулу для площадей:

$\frac{S_{ADE}}{S_{CKE}} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$.

По условию задачи, площадь треугольника $ADE$ равна $50 \text{ см}^2$. Подставим это значение и найдем площадь треугольника $CEK$:

$\frac{50}{S_{CKE}} = \frac{25}{4}$.

$S_{CKE} = \frac{50 \cdot 4}{25} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2$.