Номер 303, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Прямая, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, делит его на две равновеликие фигуры. Найдите сторону $AB$, если отрезок прямой, содержащийся между сторонами треугольника, равен 4 см.

303. Прямая, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, делит его на две равновеликие фигуры. Найдите сторону $AB$, если отрезок прямой, содержащийся между сторонами треугольника, равен 4 см.

Пусть дан треугольник $ABC$. Прямая, параллельная стороне $AB$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Таким образом, образуется треугольник $DCE$ и трапеция $ABED$.

По условию, прямая $DE$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие фигуры, то есть фигуры с равными площадями. Обозначим площади треугольника $DCE$ и трапеции $ABED$ как $S_{DCE}$ и $S_{ABED}$ соответственно. Тогда $S_{DCE} = S_{ABED}$.

Площадь исходного треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольника $DCE$ и трапеции $ABED$:

$S_{ABC} = S_{DCE} + S_{ABED}$

Так как $S_{DCE} = S_{ABED}$, то можем записать:

$S_{ABC} = S_{DCE} + S_{DCE} = 2 \cdot S_{DCE}$

Отсюда следует, что отношение площади треугольника $DCE$ к площади треугольника $ABC$ равно:

$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}$

Поскольку прямая $DE$ параллельна стороне $AB$, то треугольник $DCE$ подобен треугольнику $ACB$ (по двум углам: $\angle C$ — общий, $\angle CDE = \angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответствующих сторон:

$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}} = (\frac{DE}{AB})^2$

Подставим известное нам отношение площадей в это уравнение:

$(\frac{DE}{AB})^2 = \frac{1}{2}$

По условию задачи, длина отрезка $DE$ равна 4 см. Подставим это значение в уравнение:

$(\frac{4}{AB})^2 = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{4}{AB} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь выразим $AB$:

$AB = 4 \cdot \sqrt{2}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.