Номер 304, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 5 : 3$, а площадь треугольника $BFC$ равна $54$ см$^2$.

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 5 : 3$, а площадь треугольника $BFC$ равна $54 \text{ см}^2$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, образуя два треугольника: $\triangle BFC$ и $\triangle AFD$.

Поскольку $BC \parallel AD$, то треугольник $\triangle BFC$ подобен треугольнику $\triangle AFD$. Подобие следует из равенства углов: $\angle F$ — общий для обоих треугольников, а $\angle FBC = \angle FAD$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $AF$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{BC}{AD}$

По условию задачи, $AD : BC = 5 : 3$, значит, коэффициент подобия $k = \frac{3}{5}$.

Следовательно, отношение площадей треугольников равно: $\frac{S_{\triangle BFC}}{S_{\triangle AFD}} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

Нам известна площадь треугольника $BFC$: $S_{\triangle BFC} = 54$ см$^2$. Подставим это значение в полученное соотношение и найдем площадь треугольника $AFD$: $\frac{54}{S_{\triangle AFD}} = \frac{9}{25}$
$S_{\triangle AFD} = \frac{54 \cdot 25}{9} = 6 \cdot 25 = 150$ см$^2$.

Площадь трапеции $ABCD$ можно найти как разность площадей треугольника $\triangle AFD$ и треугольника $\triangle BFC$:
$S_{ABCD} = S_{\triangle AFD} - S_{\triangle BFC}$
$S_{ABCD} = 150 - 54 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.